Considera-se a função de corrente dada a seguir:
\psi=x_{1} x_{2} \sin (\pi \alpha)
Esta função representa um escoamento em torno de um canto de ângulo ? de valor constante. Usando as relações de Cauchy-Riemann, calcule o potencial de velocidade deste escoamento.

Passo 1

O enunciado dá a função de corrente \psi = x_{1}x_{2}\sin(\pi\alpha)
e pede o potencial de velocidade \varphi. Vamos usar as relações de Cauchy–Riemann para o potencial complexo
w(z)=\varphi(x_{1},x_{2})+i\,\psi(x_{1},x_{2})
que impõem
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}=\frac{\partial \psi}{\partial x_{2}}, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}=-\frac{\partial \psi}{\partial x_{1}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de \psi:
\frac{\partial \psi}{\partial x_{1}} = x_{2}\,\sin(\pi\alpha), \qquad \frac{\partial \psi}{\partial x_{2}} = x_{1}\,\sin(\pi\alpha).
Pelas Cauchy–Riemann, temos
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}} = x_{1}\,\sin(\pi\alpha), \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}} = -\,x_{2}\,\sin(\pi\alpha).

Passo 3

Integramos a primeira relação em x_{1}:
\varphi(x_{1},x_{2}) = \int x_{1}\,\sin(\pi\alpha)\,dx_{1} = \frac{\sin(\pi\alpha)}{2}\,x_{1}^{2} + g(x_{2}),
onde g(x_{2}) é uma “constante” de integração que pode depender de x_{2}.

Passo 4

Para determinar g(x_{2}), diferenciamos em x_{2} e igualamos a -x_{2}\sin(\pi\alpha):
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}} = g'(x_{2}) \stackrel{!}{=}-x_{2}\,\sin(\pi\alpha).
Logo
g'(x_{2})=-x_{2}\,\sin(\pi\alpha) \quad\Longrightarrow\quad g(x_{2})=-\frac{\sin(\pi\alpha)}{2}\,x_{2}^{2}+C.
Substituindo em \varphi, obtemos
\varphi(x_{1},x_{2}) =\frac{\sin(\pi\alpha)}{2}\,x_{1}^{2} -\frac{\sin(\pi\alpha)}{2}\,x_{2}^{2} + C.

Resposta

\varphi(x_{1},x_{2}) =\frac{\sin(\pi\alpha)}{2}\,\bigl(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\bigr) + C,
onde C é constante arbitrária.

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