Para o seguinte campo de velocidade:
Para
e
constantes:
Calcule a trajetória na direção
.
Calcule a trajetória na direção
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a trajetória na direção
para um campo de velocidade dado. Estamos lidando com cálculo de trajetórias em campos de velocidade, que envolve resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de matemática básica de equações diferenciais e vetores de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo de velocidade que foi dado:
Aqui,
representa a velocidade em cada ponto do espaço,
e
são constantes, e
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Como queremos a trajetória na direção
, vamos focar na componente
da velocidade:
A trajetória
é a posição em
em função do tempo. Para encontrar isso, usamos a relação entre velocidade e posição:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la separando as variáveis:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Para resolver para
, exponenciamos ambos os lados:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Resposta
A trajetória na direção
é dada por:
Onde
é determinada pela condição inicial da posição.