Para o seguinte campo de velocidade:
u=U0 x1L e1+U0L x2 e2
Para U0 e L constantes:
Calcule a trajetória na direção x1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a trajetória na direção para um campo de velocidade dado. Estamos lidando com cálculo de trajetórias em campos de velocidade, que envolve resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de matemática básica de equações diferenciais e vetores de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo de velocidade que foi dado:
u = U0 x1L e1 + U0 x2L e2
Aqui, representa a velocidade em cada ponto do espaço, e são constantes, e e são os vetores unitários nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Como queremos a trajetória na direção u1 = U0 x1L , vamos focar na componente dx1dt = u1 da velocidade:
dx1dt = U0 x1L
A trajetória é a posição em em função do tempo. Para encontrar isso, usamos a relação entre velocidade e posição:
Substituindo :

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la separando as variáveis:
dx1x1 = U0L dt

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1x1 dx1 = integral U0L dt
Isso resulta em:
ln|x1| = U0L t + C
Onde x1 = e^U0L t + C = e^C e^U0L t é a constante de integração. Para resolver para x1(t) = C' e^U0L t , exponenciamos ambos os lados:
Podemos simplificar como uma nova constante :

Resposta

A trajetória na direção x1(t) = C' e^U0L t é dada por:
Onde é determinada pela condição inicial da posição.

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