Considera os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3, calcule o valor de k in R de tal modo que w=(1, k, 4) seja combinação linear de u e v.
a) (2,1),(3,2)
b) (2,3),(4,6)
c) (-2,1),(1,3),(2,4)
d) (-1,2),(1,-2),(2,-4)
e) (1,2),(-1,1)

Passo 1

O enunciado pede para achar kinR tal que o vetor
w = (1,;k,;4)
seja combinação linear dos vetores
u = (1,2,3) e v = (2,3,1)
O conteúdo é “combinação linear em R^3”: precisamos encontrar escalares alpha e beta tais que
alpha,u + beta,v = w

Passo 2

Escrevemos a igualdade coordenada a coordenada:
alpha,(1,2,3) + beta,(2,3,1) = (1,k,4)
implica o sistema
alpha + 2beta = 1, 2alpha + 3beta = k, 3alpha + beta = 4

Passo 3

Das equações 1ª e 3ª resolvemos alpha e beta.
Da 1ª: alpha = 1 - 2beta.
Substituindo na 3ª:
3(1 - 2beta) + beta = 4 ;Longrightarrow; 3 -6beta + beta = 4 ;Longrightarrow; -5beta = 1 ;Longrightarrow; beta = -tfrac15
Então
alpha = 1 - 2l(-tfrac15r) = 1 + tfrac25 = tfrac75

Passo 4

Usamos a 2ª equação para determinar k:
k = 2alpha + 3beta = 2cdottfrac75 + 3cdotl(-tfrac15r) = tfrac145 - tfrac35 = tfrac115

Passo 5

Portanto o valor que faz w combinação linear de u e v é
k = tfrac115
Nenhuma das alternativas (a)–(e) apresentadas corresponde a esse valor numérico, de modo que não há como escolher uma alternativa correta entre elas.

Resposta

Não é possível escolher, pois o valor encontrado é k = tfrac115, e nenhuma das alternativas dadas lista esse número.

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