Num torneio de triatlon as competições: nado, corrida e ciclismo foram pontuadas com pesos e , respectivamente. A tabela abaixo apresenta a pontuação dos quatro primeiros colocados em cada categoria e sua respectiva classificação final.
Nado Corrida Ciclismo
Classificação
Geral
Atleta 1 7,5 9 9 8,4
Atleta 2 8 7 9 8
Atleta 3 9 7,5 8,5 7,9
Atleta 4 7,5 8 8 7,8
O terceiro atleta alegou que se as classificações dos , e atletas estivessem corretas, então sua classifiação estaria incorreta. Sabendo que a classificação geral foi obtida pela média ponderada da pontuação de cada uma das competições e supondo que o terceiro atleta está correto determine:
(a) o peso de cada competição;
(b) a classificação do terceiro candidato.

Passo 1

O enunciado diz que a classificação geral de cada atleta é a média ponderada das pontuações em nado, corrida e ciclismo, com pesos x,y,z. Para os atletas 1, 2 e 4, as médias dadas são corretas. O atleta 3 alega que, mantendo esses pesos, a média dele ( 7,9) estaria errada. Vamos achar x,y,z que satisfazem as médias dos atletas 1, 2 e 4 e depois recalcular a média do atleta 3.

Passo 2

A média ponderada de um atleta cujas pontuações são (a,b,c) é
a,x + b,y + c,zx+y+z,
Para o atleta 1 (7,5;9;9) com média 8,4, temos
7,5,x + 9,y + 9,zx+y+z = 8,4
Para o atleta 2 (8;7;9) com média 8,
8,x + 7,y + 9,zx+y+z = 8
Para o atleta 4 (7,5;8;8) com média 7,8,
7,5,x + 8,y + 8,zx+y+z = 7,8

Passo 3

Multiplicando cada equação por (x+y+z) e passando todos os termos para um lado, obtemos três relações lineares:
7,5x +9y +9z = 8,4(x+y+z)Longrightarrow -9x +6y +6z =0, 8x +7y +9z = 8(x+y+z)Longrightarrow -y + z =0, 7,5x +8y +8z = 7,8(x+y+z)Longrightarrow -3x +2y +2z =0

Passo 4

Da segunda equação tiramos
-y + z = 0 Longrightarrow z = y
Substituindo z=y na primeira ou na terceira equação, por exemplo na terceira:
-3x +2y +2y =0 Longrightarrow -3x +4y=0 Longrightarrow x = tfrac43,y

Passo 5

Logo os pesos são proporcionais a
x:y:z = 43y : y : y ;=;4:3:3
Podemos escolher, por simplicidade, x=4, y=3, z=3.

Passo 6

Com esses pesos, a classificação do atleta 3 (9;7,5;8,5) é
9cdot 4 ;+;7,5cdot 3 ;+;8,5cdot 34+3+3 =36 + 22,5 +25,510 =8410 =8,4

Resposta

(a) Os pesos podem ser tomados como x:y:z = 4:3:3.
(b) A classificação correta do terceiro atleta seria 8,4.

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