Determine o subespaço gerado pelo conjunto de matrizes [cc2 & -3 1 & 1],[cc4 & -6 2 & 2] ,[cc0 & 2 1 & 0] contido no Espaça Vetorial de matrizes de ordem 2

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M2times 2(R):
A=2 & -3[6pt]1 & 1, B=4 & -6[6pt]2 & 2, C=0 & 2[6pt]1 & 0,
e pede o subespaço gerado por elas, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares alpha A+beta B+gamma C. Para isso, vamos verificar dependências lineares entre A,B,C e extrair uma base desse subespaço.]

Passo 2

Observamos que
2A = 22 & -3[3pt]1 & 1 = 4 & -6[3pt]2 & 2 = B
Logo B é múltiplo de A e não acrescenta dimensão extra ao subespaço: spanA,B,C=spanA,C.]

Passo 3

Agora checamos se A e C são linearmente independentes. Suponha
lambda A + mu C = 0,
isto é,
lambda2 & -3[3pt]1 & 1 + mu0 & 2[3pt]1 & 0 = 0 & 0[3pt]0 & 0
Das entradas (1,1) e (1,2) vem
2lambda = 0Rightarrow lambda=0,
-3lambda + 2mu = 0Rightarrow 2mu=0;Rightarrow;mu=0
Portanto só há a combinação trivial, e A e C são independentes.]

Passo 4

Concluímos que é uma base do subespaço gerado pelos três vetores iniciais. Assim

Resposta

boxedspanl2 & -3[3pt]1 & 1,;0 & 2[3pt]1 & 0r =lalpha2 & -3[3pt]1 & 1 +beta0 & 2[3pt]1 & 0mid alpha,betainRr ]

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