Exercício 5. Suponha que o sistema de coordenadas S seja ortonormal. Dados os pontos A e B com[A]S=(1,2,5) e [B]S=(0,1,0), determine um ponto P pertencente à reta que passa por A e B e tal que o comprimento de P B seja o triplo do comprimento de P A.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de coordenadas ortonormal, ou seja, com eixos perpendiculares e unidades iguais. Temos dois pontos, A com coordenadas (1,2,5) e B com (0,1,0). Precisamos encontrar um ponto P que está na reta que liga A e B, de modo que a distância de P para B seja três vezes a distância de P para A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas e proporções de segmentos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a direção da reta que passa por A e B. Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das de B:
AB = [B]S - [A]S = (0-1, 1-2, 0-5) = (-1, -1, -5)
Esse vetor nos dá a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a reta que passa por A e B. Podemos expressar as coordenadas de qualquer ponto P nessa reta em função de um parâmetro t:
P(t) = A + t cdot AB = (1,2,5) + t cdot (-1, -1, -5) = (1 - t, 2 - t, 5 - 5t)
Aqui, t determina a posição de P na reta.

Passo 4

Segundo a condição do problema, a distância de P para B deve ser três vezes a distância de P para A. Vamos expressar isso matematicamente:
|PB| = 3 cdot |PA|
Sabemos que a distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula da distância euclidiana. Vamos calcular |PB| e |PA| usando as coordenadas de P(t):
|PA| = raiz(xP - xA)^2 + (yP - yA)^2 + (zP - zA)^2
|PB| = raiz(xP - xB)^2 + (yP - yB)^2 + (zP - zB)^2
Substituindo as coordenadas:
|PA| = raiz(1 - t - 1)^2 + (2 - t - 2)^2 + (5 - 5t - 5)^2 = raiz(-t)^2 + (-t)^2 + (-5t)^2 = raizt^2 + t^2 + 25t^2 = raiz27t^2 = raiz27 cdot |t|
|PB| = raiz(1 - t - 0)^2 + (2 - t - 1)^2 + (5 - 5t - 0)^2 = raiz(1 - t)^2 + (1 - t)^2 + (5 - 5t)^2
Vamos simplificar |PB|:
|PB| = raiz(1 - t)^2 + (1 - t)^2 + (5 - 5t)^2 = raiz2(1 - t)^2 + 25(1 - t)^2 = raiz27(1 - t)^2 = raiz27 cdot |1 - t|

Passo 5

Aplicando a condição |PB| = 3 cdot |PA|:
raiz27 cdot |1 - t| = 3 cdot raiz27 cdot |t|
Podemos dividir ambos os lados por raiz27 (que é positivo) para simplificar:
|1 - t| = 3|t|
Agora, vamos resolver essa equação. Temos duas possibilidades devido ao valor absoluto:
  1. 1 - t = 3t
1 = 4t
t = 14
  1. 1 - t = -3t
1 = -2t
t = -12
Vamos verificar qual dessas soluções faz sentido no contexto da reta entre A e B. O valor t = 14 indica um ponto entre A e B, enquanto t = -12 estaria além de A na direção oposta.

Passo 6

Vamos usar t = 14 para encontrar as coordenadas de P:
P(14) = (1 - 14, 2 - 14, 5 - 5 cdot 14) = (34, 74, 154)

Resposta

O ponto P que satisfaz as condições é (34, 74, 154).

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