Exercício 5. Suponha que o sistema de coordenadas seja ortonormal. Dados os pontos e e , determine um ponto pertencente à reta que passa por e e tal que o comprimento de seja o triplo do comprimento de P A.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de coordenadas ortonormal, ou seja, com eixos perpendiculares e unidades iguais. Temos dois pontos, A com coordenadas (1,2,5) e B com (0,1,0). Precisamos encontrar um ponto P que está na reta que liga A e B, de modo que a distância de P para B seja três vezes a distância de P para A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas e proporções de segmentos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a direção da reta que passa por A e B. Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das de B:
AB = [B]S - [A]S = (0-1, 1-2, 0-5) = (-1, -1, -5)
Esse vetor nos dá a direção da reta.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a reta que passa por A e B. Podemos expressar as coordenadas de qualquer ponto P nessa reta em função de um parâmetro t:
P(t) = A + t cdot AB = (1,2,5) + t cdot (-1, -1, -5) = (1 - t, 2 - t, 5 - 5t)
Aqui, t determina a posição de P na reta.
Passo 4
Segundo a condição do problema, a distância de P para B deve ser três vezes a distância de P para A. Vamos expressar isso matematicamente:
|PB| = 3 cdot |PA|
Sabemos que a distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula da distância euclidiana. Vamos calcular |PB| e |PA| usando as coordenadas de P(t):
Podemos dividir ambos os lados por raiz27 (que é positivo) para simplificar:
|1 - t| = 3|t|
Agora, vamos resolver essa equação. Temos duas possibilidades devido ao valor absoluto:
1 - t = 3t
1 = 4t
t = 14
1 - t = -3t
1 = -2t
t = -12
Vamos verificar qual dessas soluções faz sentido no contexto da reta entre A e B. O valor t = 14 indica um ponto entre A e B, enquanto t = -12 estaria além de A na direção oposta.
Passo 6
Vamos usar t = 14 para encontrar as coordenadas de P: