Consideramos a função f definida em ] 0,+infty[ por :
forall x>0, f(x)=12(x+2x)
Seja u1 >= raiz2. Definimos a sequência forall n >= 1, un+1=f(un) :
f
a. Estudar a função forall x >= raiz2, f(x) >= (crescimento, decrescimento, limites, …) e verificar que raiz2 forall n >= 1, un >= raiz2.
b. Provar por indução que : x mapsto x-f(x).
c. Estudar a função ] 0,+infty[ em forall x >= raiz2, x >= f(x). Deduzir que e então que a sequência é decrescente.
d. Concluir que converge.
e. Achar o limite da sequência .

Passo 1

Estamos estudando a função f em ]0,+∞[ dada por
f(x)=12l(x+2xr)
e a sequência (u_n) definida por u₁≥√2 e
un+1=f(un)
O conteúdo envolve estudo de função (monotonia, extremos, limites), indução, sequências monótonas e convergência.

Passo 2

Calculamos a derivada para estudar o crescimento de f. Temos
f'(x)=12l(1-2x^2r)=x^2-22x^2
Logo f’ é negativa em ]0,√2[ e positiva em ]√2,+∞[, indicando mínimo em x=√2. Como
f(√2)=12l(√2+tfrac2√2r)=√2,
segue que f(x)≥√2 para todo x>0 e, em particular, para x≥√2.

Passo 3

Base da indução: por hipótese u₁≥√2. Passo indutivo: suponha u_n≥√2. Então
un+1=f(un)>=√2
pelo resultado do passo anterior. Concluímos que para todo n≥1 vale u_n≥√2.

Passo 4

Definimos g(x)=x−f(x) e estudamos sua derivada:
g'(x)=1-f'(x)=1-x^2-22x^2=x^2+22x^2>0
Assim g é crescente. Como g(√2)=√2−√2=0, para x≥√2 vem g(x)≥0, ou seja x≥f(x). Aplicando a x=u_n obtemos u_{n+1}=f(u_n)≤u_n, logo (u_n) é decrescente.

Passo 5

A sequência (u_n) é decrescente e, pelo passo da indução, limitada inferiormente por √2. Pelo Teorema do Confronto de Monotonia, (u_n) converge.

Passo 6

Seja ℓ=lim_{n→∞}u_n. Pelarecursão temos ℓ=f(ℓ), então
ℓ=12l(ℓ+2ℓr)implies ℓ^2=2
Como ℓ≥√2>0, concluímos ℓ=√2.

Resposta

raiz2

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