Consideramos a função
definida em
por :
Seja
. Definimos a sequência
:
a. Estudar a função
(crescimento, decrescimento, limites, …) e verificar que
.
b. Provar por indução que :
.
c. Estudar a função
em
. Deduzir que
e então que a sequência
é decrescente.
d. Concluir que
converge.
e. Achar o limite da sequência
.
b. Provar por indução que :
c. Estudar a função
d. Concluir que
e. Achar o limite da sequência
Passo 1
Estamos estudando a função f em ]0,+∞[ dada por
e a sequência (u_n) definida por u₁≥√2 e
O conteúdo envolve estudo de função (monotonia, extremos, limites), indução, sequências monótonas e convergência.
Passo 2
Calculamos a derivada para estudar o crescimento de f. Temos
Logo f’ é negativa em ]0,√2[ e positiva em ]√2,+∞[, indicando mínimo em x=√2. Como
segue que f(x)≥√2 para todo x>0 e, em particular, para x≥√2.
Passo 3
Base da indução: por hipótese u₁≥√2. Passo indutivo: suponha u_n≥√2. Então
pelo resultado do passo anterior. Concluímos que para todo n≥1 vale u_n≥√2.
Passo 4
Definimos g(x)=x−f(x) e estudamos sua derivada:
Assim g é crescente. Como g(√2)=√2−√2=0, para x≥√2 vem g(x)≥0, ou seja x≥f(x). Aplicando a x=u_n obtemos u_{n+1}=f(u_n)≤u_n, logo (u_n) é decrescente.
Passo 5
A sequência (u_n) é decrescente e, pelo passo da indução, limitada inferiormente por √2. Pelo Teorema do Confronto de Monotonia, (u_n) converge.
Passo 6
Seja ℓ=lim_{n→∞}u_n. Pelarecursão temos ℓ=f(ℓ), então
Como ℓ≥√2>0, concluímos ℓ=√2.