Seja
a função definida por
.
Definimos as duas sequências:
a. Calcular
e
.
b. Provar por absurdo que
não tem limite em 0 .
Definimos as duas sequências:
b. Provar por absurdo que
Passo 1
Estamos lidando com a função f definida em (0,+∞) por f(x)=cos(1/x) e duas sequências u_n=1/(2πn) e v_n=1/(π/2+2πn). O objetivo é achar os limites de f(u_n) e f(v_n) quando n→∞ e, em seguida, provar por absurdo que f não tem limite em x→0.
Passo 2
Para u_n, note que 1/u_n=2πn. Logo, f(u_n)=cos(1/u_n)=cos(2πn). Pela periodicidade do cosseno, cos(2πn)=1 para todo n inteiro. Assim,
[f(u_n)=1 \quade\quad \lim_{n\to\infty}f(u_n)=1.
Passo 3
Para v_n, observamos que 1/v_n=π/2+2πn. Então
[\lim_{n\to\infty}f(v_n)=0.
Passo 4
Para provar por absurdo que f não tem limite em x→0, suponha que exista L tal que lim_{x→0}f(x)=L. Isso implicaria que para qualquer ε>0, existe δ>0 tal que |f(x)−L|<ε sempre que 0<x<δ. Escolha ε=1/2. Como u_n→0 e v_n→0, para n grande teremos u_n<δ e v_n<δ. Então deveríamos ter |f(u_n)−L|<1/2 e |f(v_n)−L|<1/2. Mas f(u_n)→1 e f(v_n)→0, o que força L estar simultaneamente a menos de 1/2 de 1 e a menos de 1/2 de 0, impossível (distância entre 1 e 0 é 1). Isso contradiz a existência de L.
Portanto, as duas sequências dão limites distintos (1 e 0), mostrando que f(x)=cos(1/x) não tem limite quando x tende a 0.
Portanto, as duas sequências dão limites distintos (1 e 0), mostrando que f(x)=cos(1/x) não tem limite quando x tende a 0.