Seja f a função definida por forall n>1, un=12 pi n e vn=1pi2+2 pi n .
Definimos as duas sequências:
f
a. Calcular e .
b. Provar por absurdo que não tem limite em 0 .

Passo 1

Estamos lidando com a função f definida em (0,+∞) por f(x)=cos(1/x) e duas sequências u_n=1/(2πn) e v_n=1/(π/2+2πn). O objetivo é achar os limites de f(u_n) e f(v_n) quando n→∞ e, em seguida, provar por absurdo que f não tem limite em x→0.

Passo 2

Para u_n, note que 1/u_n=2πn. Logo, f(u_n)=cos(1/u_n)=cos(2πn). Pela periodicidade do cosseno, cos(2πn)=1 para todo n inteiro. Assim,
[f(u_n)=1 \quade\quad \lim_{n\to\infty}f(u_n)=1.

Passo 3

Para v_n, observamos que 1/v_n=π/2+2πn. Então
f(vn)=cosl(1/vnr)=cosl(π/2+2πnr) Sabemos que cos(π/2+2πn)=0 para todo n inteiro. Logo,
[\lim_{n\to\infty}f(v_n)=0.

Passo 4

Para provar por absurdo que f não tem limite em x→0, suponha que exista L tal que lim_{x→0}f(x)=L. Isso implicaria que para qualquer ε>0, existe δ>0 tal que |f(x)−L|<ε sempre que 0<x<δ. Escolha ε=1/2. Como u_n→0 e v_n→0, para n grande teremos u_n<δ e v_n<δ. Então deveríamos ter |f(u_n)−L|<1/2 e |f(v_n)−L|<1/2. Mas f(u_n)→1 e f(v_n)→0, o que força L estar simultaneamente a menos de 1/2 de 1 e a menos de 1/2 de 0, impossível (distância entre 1 e 0 é 1). Isso contradiz a existência de L.
Portanto, as duas sequências dão limites distintos (1 e 0), mostrando que f(x)=cos(1/x) não tem limite quando x tende a 0.

Resposta

limntoinftyf(un)=1, limntoinftyf(vn)=0, e f não tem limite em x→0.

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