Nos Problemas 31 e 32 , escreva o dado número complexo na forma polar e, a seguir, na forma .

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
(cos tfracpi9 + isin tfracpi9)^12 ; [2(cos tfracpi6 + isin tfracpi6)]^5
primeiro na forma polar (módulo e argumento) e depois na forma cartesiana a+i b. Vamos usar o teorema de De Moivre e propriedades de exponenciação de números complexos.

Passo 2

Aplicamos De Moivre ao primeiro fator:
(cos tfracpi9 + isin tfracpi9)^12 = cosl(12cdottfracpi9r) + isinl(12cdottfracpi9r) = cos tfrac4pi3 + isin tfrac4pi3

Passo 3

Para o segundo fator, levantamos o módulo e somamos argumentos:
[2(cos tfracpi6 + isin tfracpi6)]^5 = 2^5l(cos(5cdottfracpi6) + isin(5cdottfracpi6)r) = 32l(cos tfrac5pi6 + isin tfrac5pi6r)

Passo 4

Multiplicamos os dois fatores: módulo é o produto dos módulos e argumento é a soma dos argumentos:
1 cdot 32 = 32,
tfrac4pi3 + tfrac5pi6 = tfrac8pi6 + tfrac5pi6 = tfrac13pi6
Logo em forma polar inicial:
32l(cos tfrac13pi6 + isin tfrac13pi6r)

Passo 5

Simplificamos o argumento para a forma principal, subtraindo 2pi = tfrac12pi6:
tfrac13pi6 - 2pi = tfrac13pi6 - tfrac12pi6 = tfracpi6
Assim a forma polar final é:
32l(cos tfracpi6 + isin tfracpi6r)

Passo 6

Para passar à forma a+i b, usamos cos tfracpi6 = tfracraiz32 e sin tfracpi6 = tfrac12:
32l(tfracraiz32 + itfrac12r) = 32cdottfracraiz32 + i,32cdottfrac12 = 16raiz3 + 16,i

Resposta

Na forma polar: 32(cos tfracpi6 + isin tfracpi6). Na forma cartesiana: 16raiz3 + 16,i.

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