Use a fórmula de de Moivre (10) com n=2 para determinar identidades trigonométricas para cos 2 theta e sen 2 theta.

Passo 1

O enunciado pede para usar a fórmula de De Moivre com n=2 para obter identidades para cos2theta e sin2theta. O conteúdo envolvido é a fórmula de De Moivre em números complexos, e vamos precisar expandir um binômio complexo e usar a propriedade i^2=-1.

Passo 2

A fórmula de De Moivre para n=2 é
(costheta + isintheta)^2 = cos2theta + isin2theta

Passo 3

Vamos expandir o lado esquerdo pelo binômio:
(costheta + isintheta)^2 = cos^2theta + 2isinthetacostheta + i^2sin^2theta = cos^2theta - sin^2theta + i,2sinthetacostheta

Passo 4

Agora igualamos as partes real e imaginária: a parte real dá cos2theta e a parte imaginária dá sin2theta.

Resposta

[\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta]
[\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta]

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