Nos Problemas 35 e 36 , determine um inteiro positivo para o qual a igualdade é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para achar um inteiro positivo n tal que l(raiz32+12ir)^n=-1. O conteúdo envolvido é representação trigonométrica de números complexos e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Observamos que z=raiz32+12i tem módulo 1 e argumento pi6, pois cospi6=raiz32 e sinpi6=12. Assim,
[z=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\mathrm{cis}\bigl(\tfrac{\pi}{6})],
e pelo Teorema de De Moivre
[z^n=\mathrm{cis}\bigl(n\tfrac{\pi}{6}\bigr)].

Passo 3

Queremos z^n=-1, mas -1=cis(pi+2pi k) para kinZ. Logo precisamos de
[n\tfrac{\pi}{6}=\pi+2\pi k\quad\Rightarrow\quad n=6+12k,\ k\in\mathbb{Z}].

Passo 4

Para o menor inteiro positivo escolhemos k=0, obtendo n=6.

Resposta

6

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