Nos Problemas 35 e 36 , determine um inteiro positivo
para o qual a igualdade é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede para achar um inteiro positivo
tal que
. O conteúdo envolvido é representação trigonométrica de números complexos e o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Observamos que
tem módulo 1 e argumento
, pois
e
. Assim,
[z=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\mathrm{cis}\bigl(\tfrac{\pi}{6})],
e pelo Teorema de De Moivre
[z^n=\mathrm{cis}\bigl(n\tfrac{\pi}{6}\bigr)].
[z=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\mathrm{cis}\bigl(\tfrac{\pi}{6})],
e pelo Teorema de De Moivre
[z^n=\mathrm{cis}\bigl(n\tfrac{\pi}{6}\bigr)].
Passo 3
Queremos
, mas
para
. Logo precisamos de
[n\tfrac{\pi}{6}=\pi+2\pi k\quad\Rightarrow\quad n=6+12k,\ k\in\mathbb{Z}].
[n\tfrac{\pi}{6}=\pi+2\pi k\quad\Rightarrow\quad n=6+12k,\ k\in\mathbb{Z}].
Passo 4
Para o menor inteiro positivo escolhemos
, obtendo
.
Resposta
6