Consideramos em
o produto interno definido do seguinte modo:
para todo par de polinômios
desse espaço. A base canônica
é ortonormal em relação a esse produto interno?
Passo 1
O enunciado define em
o produto interno
para
e
. Precisamos verificar se a base canônica
é ortonormal nesse produto interno, ou seja, se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1.
Passo 2
Recordando que um conjunto de vetores é ortonormal se para todo par
com
tivermos
e para cada
tivermos
, onde
.
Passo 3
Vamos calcular os produtos internos entre os vetores da base:
- Para
: os coeficientes são , então
- Para
- Para
: os coeficientes são , então
- Entre vetores distintos:
Passo 4
Como
, o vetor
não é unitário. Portanto, a base canônica não é ortonormal para esse produto interno.
Resposta
Não, pois
.