Consideramos em P2(R) o produto interno definido do seguinte modo:
lang<=sumi=0^2 ai t^i, sumi=0^2 bi t^irang<==sumi=1^2 ai bi,
para todo par de polinômios p(t)=sumi=0^2 ai t^i, q(t)=sumi=0^2 bi t^i desse espaço. A base canônica é ortonormal em relação a esse produto interno?

Passo 1

O enunciado define em P2(R) o produto interno lang<= p,qrang<==sumi=1^2ai bi para p(t)=sumi=0^2ai t^i e q(t)=sumi=0^2bi t^i. Precisamos verificar se a base canônica 1,t,t^2 é ortonormal nesse produto interno, ou seja, se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1.

Passo 2

Recordando que um conjunto de vetores é ortonormal se para todo par vi,vj com ineq j tivermos lang<= vi,vjrang<==0 e para cada vi tivermos |vi|=1, onde |vi|=raizlang<= vi,virang<=.

Passo 3

Vamos calcular os produtos internos entre os vetores da base:
  • Para 1: os coeficientes são a1=a2=0, então
lang<=1,1rang<==0cdot0+0cdot0=0implies|1|=0
- Para t: os coeficientes são a1=1,a2=0, então
lang<= t,trang<==1cdot1+0cdot0=1implies|t|=1
  • Para t^2: os coeficientes são a1=0,a2=1, então
lang<= t^2,t^2rang<==0cdot0+1cdot1=1implies|t^2|=1
- Entre vetores distintos:
lang<=1,trang<==0,lang<=1,t^2rang<==0,lang<= t,t^2rang<==0

Passo 4

Como |1|=0neq1, o vetor 1 não é unitário. Portanto, a base canônica não é ortonormal para esse produto interno.

Resposta

Não, pois lang<=1,1rang<==0neq1.

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