Seja P2(R) munido do produto interno lang<= p(t), q(t)rang<==integral0^1 p(t) q(t) d t. Ortonormalizar utilizando o processo de Gram-Schmidt a base canônica .

Passo 1

A questão pede para ortonormalizar, pelo processo de Gram‐Schmidt, a base canônica 1, t, t^2 de P2( R) com o produto interno lang<= p,qrang<==integral0^1p(t)q(t),dt. Vamos subtrair projeções sucessivas e normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal.

Passo 2

Escolhemos o primeiro vetor v1=1. Calculamos sua norma:
|v1|=raizintegral0^1 1,dt=1
Logo o primeiro vetor ortonormal é
u1=v1|v1|=1

Passo 3

Para o segundo vetor, definimos
v2=t-proju1t=t-lang<= t,u1rang<=,u1=t-gl(integral0^1t,dtgr)cdot1=t-tfrac12
Calculamos a norma de v2:
|v2|=raizintegral0^1(t-tfrac12)^2dt=raiztfrac112=tfrac12raiz3
Assim
u2=v2|v2|=2raiz3,(t-tfrac12)

Passo 4

Para o terceiro vetor, definimos
v3=t^2-proju1t^2-proju2t^2 =t^2-lang<= t^2,u1rang<= u1-lang<= t^2,u2rang<= u2
Calculamos
lang<= t^2,u1rang<==integral0^1t^2dt=tfrac13,
lang<= t^2,u2rang<==integral0^1t^2cdot2raiz3,(t-tfrac12)dt=tfracraiz36
Logo
v3=t^2-tfrac13-tfracraiz36u2=t^2-t+tfrac16

Passo 5

Calculamos a norma de v3:
|v3|=raizintegral0^1(t^2-t+tfrac16)^2dt=raiztfrac1180=tfrac16raiz5
Portanto o vetor ortonormal é
nu3=v3|v3|=6raiz5,(t^2-t+tfrac16)

Resposta

A base ortonormal obtida é ,1,;2raiz3,(t-tfrac12),;6raiz5,(t^2-t+tfrac16).

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