Qual a forma bilinear que dá origem à forma quadrática do R^3 :
a)
b)
c)

Passo 1

O enunciado pede para, dado cada polinômio quadrático q: R^3to R, encontrar a forma bilinear simétrica B(x,y) cuja forma quadrática associada é q(x)=B(x,x). O conteúdo principal aqui é a relação entre formas quadráticas e formas bilineares simétricas, e vamos usar a identidade de polarização ou a identificação direta de coeficientes em q(x)=x^T A x.

Passo 2

Em teoria, se escrevemos
q(x)=sumi=1^3 aiixi^2 + 2sum1<= i
então a matriz associada é A=(aij) simétrica, e a forma bilinear é
B(x,y)=sumi=1^3 aiixi yi + sum1<= i
Alternativamente, podemos usar a identidade de polarização
B(x,y)=12l(q(x+y)-q(x)-q(y)r)

Passo 3

Para o item (a): identificamos em
q(x)=x1^2+x2^2+x3^2-2x1x2+4x1x3 - x2x3
os coeficientes:
$$a_{11}=1,
;a_{22}=1,
;a_{33}=1,
;2a_{12}=-2\Rightarrow a_{12}=-1,
;2a_{13}=4\Rightarrow a_{13}=2,
;2a_{23}=-1\Rightarrow a_{23}=-\tfrac12. a11=1, ;a22=1, ;a33=1, ;2a12=-2Rightarrow a12=-1, ;2a13=4Rightarrow a13=2, ;2a23=-1Rightarrow a23=-tfrac12A_a= Aa=1 & -1 & 2 -1 & 1 & -tfrac12 2 & -tfrac12 & 1,,$$
de onde segue
Ba(x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 - x1y2 - x2y1 +2x1y3+2x3y1 - tfrac12x2y3-tfrac12x3y2

Passo 4

Para o item (b): em
q(x)=x1^2 - x2^2 + 4x2x3
temos
$$a_{11}=1,
;a_{22}=-1,
;a_{33}=0,
;2a_{23}=4\Rightarrow a_{23}=2, a11=1, ;a22=-1, ;a33=0, ;2a23=4Rightarrow a23=2,A_b= Ab=1 & 0 & 00 & -1 & 20 & 2 & 0,,$$
logo
Bb(x,y)=x1y1 - x2y2 +2x2y3+2x3y2

Passo 5

Para o item ©: em
q(x)=2(x1x2+x1x3+x2x3)
notamos que não há termos quadrados, e
$$2a_{12}=2\Rightarrow a_{12}=1,
;2a_{13}=2\Rightarrow a_{13}=1,
;2a_{23}=2\Rightarrow a_{23}=1,
;a_{11}=a_{22}=a_{33}=0. 2a12=2Rightarrow a12=1, ;2a13=2Rightarrow a13=1, ;2a23=2Rightarrow a23=1, ;a11=a22=a33=0ãA_c= Ac=0 & 1 & 11 & 0 & 11 & 1 & 0,,$$
e
Bc(x,y)=x1y2+x2y1 + x1y3+x3y1 + x2y3+x3y2

Resposta

(a)
Ba(x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 - x1y2 - x2y1 +2x1y3+2x3y1 - tfrac12x2y3-tfrac12x3y2
(b)
Bb(x,y)=x1y1 - x2y2 +2x2y3+2x3y2
©
Bc(x,y)=x1y2+x2y1 + x1y3+x3y1 + x2y3+x3y2

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