Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?
Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?
Passo 1
O problema pede: “Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar, usando os algarismos
?”
Informações dadas e condições importantes:
Informações dadas e condições importantes:
- Os dígitos disponíveis são
.\n - Cada número deve ter exatamente quatro algarismos.\n
- Os algarismos dentro de cada número devem ser todos distintos (sem repetição).\n
- Não há o algarismo
entre os disponíveis, então não precisamos nos preocupar com restrição de “não começar com zero”.\n
O que se pede é a contagem de todas as sequências ordenadas de comprimento quatro formadas por esses nove algarismos, sem repetição.
Passo 2
Conceito útil: princípio fundamental da contagem (regra do produto). Ele diz que, se um processo é formado por etapas em sequência e a primeira etapa pode ser feita de
formas e, para cada escolha da primeira, a segunda pode ser feita de
formas, então o total de possibilidades para as duas etapas é
. Isso generaliza para várias etapas: produto do número de opções em cada etapa.
Exemplo rápido e concreto: se eu escolho uma camisa entre e uma calça entre
, o conjunto de looks possíveis é
.
Exemplo rápido e concreto: se eu escolho uma camisa entre
Passo 3
Para o nosso problema podemos aplicar o princípio contando etapa por etapa (cada etapa = escolher um dígito do número). Outra formulação padrão é usar permutações sem repetição: o número de maneiras de escolher e ordenar
elementos dentre
distintos é
Aqui
(lê-se “n fatorial”) é definido por
e
conta ordenações de
elementos sem repetição. No nosso caso
(os dígitos disponíveis) e
(comprimento do número).
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Cancelando fatores de
em
obtemos o produto dos quatro primeiros fatores decrescentes:
(Explicação:
, portanto ao dividir por
sobram apenas os quatro primeiros termos.)
Passo 5
Agora calculamos esse produto passo a passo (sem pular contas, para fazer sem calculadora):
Também podemos ver isso pela contagem etapa a etapa: primeira posição tem
escolhas, segunda tem
(um dígito já usado), terceira tem
, quarta tem
. Pelo princípio do produto:
.