Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?

Passo 1

O problema pede: “Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar, usando os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9?”
Informações dadas e condições importantes:
  • Os dígitos disponíveis são \,1,2,3,4,5,6,7,8,9.\n
  • Cada número deve ter exatamente quatro algarismos.\n
  • Os algarismos dentro de cada número devem ser todos distintos (sem repetição).\n
  • Não há o algarismo 0 entre os disponíveis, então não precisamos nos preocupar com restrição de “não começar com zero”.\n
    O que se pede é a contagem de todas as sequências ordenadas de comprimento quatro formadas por esses nove algarismos, sem repetição.

Passo 2

Conceito útil: princípio fundamental da contagem (regra do produto). Ele diz que, se um processo é formado por etapas em sequência e a primeira etapa pode ser feita de a formas e, para cada escolha da primeira, a segunda pode ser feita de b formas, então o total de possibilidades para as duas etapas é a\cdot b. Isso generaliza para várias etapas: produto do número de opções em cada etapa.
Exemplo rápido e concreto: se eu escolho uma camisa entre 3 e uma calça entre 2, o conjunto de looks possíveis é 3\cdot 2=6.

Passo 3

Para o nosso problema podemos aplicar o princípio contando etapa por etapa (cada etapa = escolher um dígito do número). Outra formulação padrão é usar permutações sem repetição: o número de maneiras de escolher e ordenar k elementos dentre n distintos é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.
Aqui n! (lê-se “n fatorial”) é definido por
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1,
e P(n,k) conta ordenações de k elementos sem repetição. No nosso caso n=9 (os dígitos disponíveis) e k=4 (comprimento do número).

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=9 e k=4:
P(9,4)=\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{9!}{5!}.
Cancelando fatores de 5! em 9! obtemos o produto dos quatro primeiros fatores decrescentes:
\frac{9!}{5!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6.
(Explicação: 9!=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!, portanto ao dividir por 5! sobram apenas os quatro primeiros termos.)

Passo 5

Agora calculamos esse produto passo a passo (sem pular contas, para fazer sem calculadora):
9\cdot 8 = 72,
72\cdot 7 = 504,
504\cdot 6 = 3024.
Também podemos ver isso pela contagem etapa a etapa: primeira posição tem \,9 escolhas, segunda tem \,8 (um dígito já usado), terceira tem \,7, quarta tem \,6. Pelo princípio do produto: 9\cdot8\cdot7\cdot6=3024.

Resposta

3024

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