Considerando uma amostra com barX20=3, construa intervalos de confiança para a média populacional com 90 % de nível de confiança nos seguintes casos:
(a) O desvio padrão populacional é conhecido, dado por sigma=1.
(b) O desvio padrão populacional é desconhecido e o desvio padrão amostral é s=1
© E, desconsiderando mudanças nas quantidade amostrais reportadas anteriormente, estime n para que os intevalos de confiança desses dois casos sejam equivalentes.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de tamanho n=20 com média amostral bar X=3 e nível de confiança de 90%. Precisamos construir: o intervalo de confiança para a média quando (a) o desvio padrão populacional sigma=1 é conhecido, (b) quando sigma é desconhecido e usamos o desvio amostral s=1, e © achar um tamanho de amostra n (novo) de modo que os dois intervalos tenham a mesma largura.

Passo 2

Para o caso (a), com sigma conhecido, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição normal. A fórmula geral é
IC=bar X pm z1-alpha/2,sigmaraizn
Aqui alpha=0,10 e z1-alpha/2=z0,95approx1,645. Logo a margem de erro é
m1 = 1,645times1raiz20approx0,368
Isso gera
ICa = [3 - 0,368 ,; 3 + 0,368] = [2,632 ,; 3,368]

Passo 3

Para o caso (b), com sigma desconhecido usamos a distribuição t de Student com n-1=19 graus de liberdade. A fórmula é
IC=bar X pm t1-alpha/2,,n-1,sraizn
Com t0,95,19approx1,729 e s=1, a margem de erro fica
m2 = 1,729times1raiz20approx0,387
Então
ICb = [3 - 0,387 ,; 3 + 0,387] = [2,613 ,; 3,387]

Passo 4

Para o item ©, queremos um novo n tal que a largura do intervalo com sigma conhecido (caso a) seja igual à largura do intervalo com sigma desconhecido (caso b). A largura de (a) é
L1 = 2,z0,95,1raiz20;
e de (b) (para o novo n) é
L2 = 2,t0,95,,n-1,1raizn
Igualando L1=L2 e cancelando o 2, obtemos
1,645raiz20 = t0,95,,n-1raizn Longrightarrow n = 20(t0,95,,n-11,645)^2
Como t0,95,,n-1 depende de n, fazemos uma iteração: começamos com t de df=19, calculamos napprox22,1, atualizamos dfapprox21, recalculamos e encontramos convergência em
napprox22

Resposta

(a) [2,632 ; 3,368]
(b) [2,613 ; 3,387]
© Aproximadamente n = 22 para que as larguras fiquem iguais.

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