Considerando uma amostra com
, construa intervalos de confiança para a média populacional com
de nível de confiança nos seguintes casos:
(a) O desvio padrão populacional é conhecido, dado por
.
(b) O desvio padrão populacional é desconhecido e o desvio padrão amostral é
© E, desconsiderando mudanças nas quantidade amostrais reportadas anteriormente, estime
para que os intevalos de confiança desses dois casos sejam equivalentes.
(a) O desvio padrão populacional é conhecido, dado por
(b) O desvio padrão populacional é desconhecido e o desvio padrão amostral é
© E, desconsiderando mudanças nas quantidade amostrais reportadas anteriormente, estime
Passo 1
O enunciado diz que temos uma amostra de tamanho
com média amostral
e nível de confiança de 90%. Precisamos construir: o intervalo de confiança para a média quando (a) o desvio padrão populacional
é conhecido, (b) quando
é desconhecido e usamos o desvio amostral
, e © achar um tamanho de amostra
(novo) de modo que os dois intervalos tenham a mesma largura.
Passo 2
Para o caso (a), com
conhecido, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição normal. A fórmula geral é
Aqui
e
. Logo a margem de erro é
Isso gera
Passo 3
Para o caso (b), com
desconhecido usamos a distribuição
de Student com
graus de liberdade. A fórmula é
Com
e
, a margem de erro fica
Então
Passo 4
Para o item ©, queremos um novo
tal que a largura do intervalo com
conhecido (caso a) seja igual à largura do intervalo com
desconhecido (caso b). A largura de (a) é
e de (b) (para o novo
) é
Igualando
e cancelando o 2, obtemos
Como
depende de
, fazemos uma iteração: começamos com
de
, calculamos
, atualizamos
, recalculamos e encontramos convergência em
Resposta
(a) [2,632 ; 3,368]
(b) [2,613 ; 3,387]
© Aproximadamente n = 22 para que as larguras fiquem iguais.
(b) [2,613 ; 3,387]
© Aproximadamente n = 22 para que as larguras fiquem iguais.