Sacas de certo produto, empacotados por certa máquina, têm massa normalmente distribuídas com sigma=100 g. A máquina empacotadora precisou ser consertada e, ao voltar a funcionar os seguintes testes são feitos:
(a) Por hipótese, a distribuição continua sendo normal com o mesmo sigma. Uma amostra de 25 sacas apresenta média de 8439 g , calcule o intervalo de confiança de 92 % para a massa média das sacas após o conserto da empacotadora.
(b) Assumindo que o desvio-padrão populacional pode ter se alterado após o conserto e o desvio-padrão amostral da mesma amostra é s=97.3 g, obtenha o intervalo de confiança de 92 % para a massa média das sacas e compare com item anterior.

Passo 1

Temos sacas com massa seguindo distribuição normal. Após o conserto da máquina, fizemos uma amostra de tamanho n=25 com média bar x = 8439 g. No item (a) assumimos o desvio padrão populacional conhecido sigma = 100 g e, no item (b), usamos o desvio amostral s = 97.3 g. Vamos calcular intervalos de confiança de 92% para a média mu.

Passo 2

Para o caso de sigma conhecido, usamos a fórmula do intervalo de confiança baseado na normal:
bar x pm zalpha/2 cdot sigmaraizn
Aqui alpha = 1 - 0.92 = 0.08, logo alpha/2 = 0.04 e o quantil é z0.96 approx 1.7507. A margem de erro fica
E = 1.7507 cdot 100raiz25 = 1.7507 cdot 20 approx 35.01
Portanto o intervalo de confiança é
8439 pm 35.01 = (8403.99,;8474.01) g

Passo 3

Quando sigma é desconhecido, usamos o intervalo baseado na t-Student com n-1=24 graus de liberdade:
bar x pm talpha/2,,n-1 cdot sraizn
Com alpha/2 = 0.04 e df = 24, o quantil é t0.96,24 approx 1.852. A margem de erro é
E = 1.852 cdot 97.3raiz25 = 1.852 cdot 19.46 approx 36.04
Logo o intervalo de confiança é
8439 pm 36.04 = (8402.96,;8475.04) g

Passo 4

Comparando os dois resultados, o intervalo obtido com t é ligeiramente mais largo que o com z, pois estimamos o desvio-padrão populacional a partir da amostra.

Resposta

No item (a) o intervalo de confiança de 92% para mu é (8403.99,,8474.01) g. No item (b) o intervalo de confiança de 92% para mu é (8402.96,,8475.04) g.

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