Questão 1.

Considere a seguinte FMP
p(x)=a+(x5)^2
com 0 <= x <= 3 e a uma constante real. Determine:
(a) O valor de a para que p(x) seja uma FMP legítima. ( 1,0 ponto)
(b) A função de probabilidade acumulada desta FMP. (1,0 ponto)
© A média e desvio padrão de x. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá uma densidade contínua p(x)=a+l(tfracx5r)^2 para 0<= x<=3. Precisamos: normalizar (a), obter a CDF (b) e calcular a média e o desvio padrão ©. Vamos usar a condição integral p(x)dx=1, a definição de CDF F(x)=integral0^x p(t)dt e as fórmulas de momento para média e variância.

Passo 2

Para encontrar a, impomos a condição de normalização:
integral0^3l(a+x^225r)dx=1
Calculando a integral:
3a+125cdot3^33=3a+925=1
Logo
3a=1-925=1625Longrightarrow a=1675

Passo 3

A função de distribuição acumulada é
F(x)=integral0^x p(t),dt=integral0^x l(a+t^225r)dt = a,x+x^375
Logo, para 0<= x<=3:
F(x)=1675x+x^375,
com F(x)=0 para x<0 e F(x)=1 para x>=3.

Passo 4

Para a média e o desvio padrão, calculamos os momentos:
E[X]=integral0^3 x,p(x)dx=integral0^3 l(a x+x^325r)dx = 177100 =1.77,
E[X^2]=integral0^3 x^2,p(x)dx=integral0^3 l(a x^2+x^425r)dx = 483125=3.864,
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=483125-l(177100r)^2=731110000=0.7311,
sigma=raizVar(X)=raiz7311100approx0.8553

Resposta

a=tfrac1675;
Para 0<= x<=3:
F(x)=1675x+x^375,
caso contrário F(x)=0 ( x<0) e F(x)=1 ( x>=3);
E[X]=tfrac177100=1.77;
sigma=tfracraiz7311100approx0.8553.

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