Considerando-se amostras de tamanho n de populações normais com variância constante, determine:
O tamanho de amostra para o IC ( 17, 2 ; 22,8 ), se o nível de confiança é 95 \% e \sigma=10.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o tamanho de amostra n necessário para um intervalo de confiança para a média de uma população normal com variância conhecida. Temos:
– extremos do intervalo: 17,2 e 22,8
– nível de confiança: 95 %
– desvio-padrão populacional: \sigma = 10
O conteúdo aqui é estimação de média com variância conhecida, usando o fato de que
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
é o intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro calculamos a semi-amplitude (margem de erro) E, que é metade do comprimento do intervalo:
E = \frac{22,8 - 17,2}{2} = \frac{5,6}{2} = 2,8.

Passo 3

Para 95 % de confiança, \alpha = 0,05 e \alpha/2 = 0,025. O quantil correspondente da Normal padrão é
z_{0,975} = 1,96.

Passo 4

A fórmula que relaciona E, z_{\alpha/2}, \sigma e n é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando n, temos
n = \Bigl(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1,96 \times 10}{2,8}\Bigr)^{2} = \bigl(7\bigr)^{2} = 49.

Resposta

n = 49.

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