Num estudo sobre o teor de vitaminas num tipo de planta utilizada na indústria alimentícia foram examinadas 16 plantas sendo encontrando o seguinte conteúdo de ácido ascórbico (vitamina C ):
9,35 8,68 8,65 11,68 10,29 12,77 10,99 8,81
10,76 9,52 10,55 12,61 10,43 9,87 12,04 9,82
a) Construa um IC 95 \% para a quantidade média de ácido ascórbico para essa planta.
b) Da cultura popular tal planta é rica em vitamina C , porém, o critério industrial para classificação de uma planta como sendo “rica” em vitamina C é que ela deve conter (em média) 12 mg de vitamina C por amostra. Qual sua conclusão?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=16 com os teores (em mg) de ácido ascórbico:
9,35,\;8,68,\;8,65,\;11,68,\;10,29,\;12,77,\;10,99,\;8,81,\;10,76,\;9,52,\;10,55,\;12,61,\;10,43,\;9,87,\;12,04,\;9,82.
Pede-se:
– (a) construir um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu;
– (b) verificar se a média satisfaz o critério industrial de \mu\ge12 mg.
Conteúdo: intervalo de confiança para média com variância desconhecida (t de Student).

Passo 2

Calculamos a média amostral \bar x e o desvio padrão amostral s:
\bar x = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}x_i = \frac{166,82}{16} \approx 10,4263,
s^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum_{i=1}^{16}x_i^2 - n\,\bar x^2\Bigr) \approx \frac{1,765,766 - 16\cdot(10,4263)^2}{15} \approx1,7636,
s = \sqrt{1,7636}\approx1,3285.

Passo 3

Como a variância populacional é desconhecida e n é pequeno, usamos a distribuição t com n-1=15 graus de liberdade. O quantil crítico é
t_{0{,}025;15}\approx2,131.
A margem de erro vale
E = t_{0{,}025;15}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \approx2,131\;\frac{1,3285}{4} \approx0,707.
Logo o intervalo de confiança de 95\% é
IC_{95\%} =\bar x \pm E \approx10,4263\pm0,707 \approx[9,7193;\;11,1333].
Arredondando para duas casas decimais:
IC_{95\%}\approx[9,72;\;11,13]\text{ mg}.

Passo 4

O critério industrial exige \mu\ge12 mg. Como 12 mg está acima do limite superior ( 11,13 mg) do intervalo de confiança, não há evidência de que a média verdadeira atinja 12 mg. Concluímos que a planta NÃO é classificada como rica em vitamina C segundo o critério dado.

Resposta

(a) IC_{95\%}=[9,72;\;11,13] mg.
(b) Como 12 mg está fora do intervalo (acima), a média não alcança 12 mg e, portanto, a planta não é considerada rica em vitamina C.

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