Considerando amostras de X com n observações, escreva as funções de verossimilhança p(X mid theta) para os modelos a seguir:
Geométrica (theta)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de tamanho n de uma variável aleatória X que segue distribuição geométrica com parâmetro theta. Precisamos então escrever a função de verossimilhança p(Xmidtheta).

Passo 2

A distribuição geométrica com parâmetro theta (suporte em x=1,2,3,dots) tem função de massa de probabilidade dada por:

Passo 3

P(X=x)= (1-theta)^x-1,theta
para x=1,2,dots.

Passo 4

Como as observações são independentes e identicamente distribuídas (iid), a verossimilhança é o produto das probabilidades de cada observação. Sejam as observações x1,x2,dots,xn, então:

Passo 5

L(theta)=p(Xmidtheta)=prodi=1^n P(X=xi)=prodi=1^n (1-theta)^xi-1,theta

Passo 6

Podemos simplificar esse produto recolhendo termos iguais. Note que há um fator theta em cada um dos n termos, e potências de (1-theta):

Passo 7

L(theta)=theta^n,(1-theta)^sumi=1^n(xi-1)=theta^n,(1-theta)^sumi=1^n xi -n

Resposta

p(Xmidtheta)=theta^n,(1-theta)^sumi=1^n xi -n

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