Considerando amostras de
com
observações, escreva as funções de verossimilhança
para os modelos a seguir:
com
conhecido
Passo 1
Temos uma amostra independente
de tamanho
retirada de uma distribuição Pascal (que é um caso de distribuição binomial negativa) com parâmetro de “número de sucessos” conhecido igual a
e probabilidade de sucesso
desconhecida. O objetivo é escrever a função de verossimilhança
em função dos dados observados
e do parâmetro
.
Passo 2
A função massa de probabilidade de um único
sob o modelo Pascal
(contando o número de falhas até ocorrer
sucessos) é
Aqui
é o coeficiente binomial que conta as maneiras de intercalar
falhas e
sucessos antes da última falha.
Passo 3
Como as observações são independentes, a verossimilhança conjunta é o produto das massas de cada
. Assim, para
,
Agrupando os fatores em que
aparece, obtemos