Considerando amostras de X com n observações, escreva as funções de verossimilhança p(X mid theta) para os modelos a seguir:
Pascal(r, theta) com r conhecido

Passo 1

Temos uma amostra independente X1,X2,dots,Xn de tamanho n retirada de uma distribuição Pascal (que é um caso de distribuição binomial negativa) com parâmetro de “número de sucessos” conhecido igual a r e probabilidade de sucesso theta desconhecida. O objetivo é escrever a função de verossimilhança
p(Xmid theta)
em função dos dados observados X=(X1,dots,Xn) e do parâmetro theta.

Passo 2

A função massa de probabilidade de um único Xi sob o modelo Pascal (r,theta) (contando o número de falhas até ocorrer r sucessos) é
P(Xi=ximid theta) =binomxi+r-1xi;theta^r,(1-theta)^xi, xi=0,1,2,dots
Aqui binomxi+r-1xi é o coeficiente binomial que conta as maneiras de intercalar xi falhas e r-1 sucessos antes da última falha.

Passo 3

Como as observações são independentes, a verossimilhança conjunta é o produto das massas de cada Xi. Assim, para X=(x1,dots,xn),
L(theta;X) = p(Xmidtheta) =prodi=1^nP(Xi=ximid theta) =prodi=1^nbinomxi+r-1xi;theta^r,(1-theta)^xi
Agrupando os fatores em que theta aparece, obtemos
L(theta;X) =l[prodi=1^nbinomxi+r-1xir]; theta^nr;(1-theta)^sumi=1^nxi

Resposta

p(Xmid theta) =l(prodi=1^nbinomxi+r-1xir), theta^nr,(1-theta)^sumi=1^nxi, 0<theta<1

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