Mostrar que ocorre a conjugação nos casos:
Uma única observação de
e priori
Uma única observação de
Passo 1
O enunciado diz que temos uma única observação
que segue a distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja \r
e que a priori temos \r
Queremos mostrar que, aplicando o Teorema de Bayes, a distribuição a posteriori de
também é uma Beta (ou seja, a família Beta é conjugada à Binomial).
Passo 2
Escrevemos a função de verossimilhança de
em função de
. Para uma observação
, \r
\r
Como
não depende de
, em termos de kernel de
temos \r
Passo 3
A densidade a priori de
(Beta) é \r
\r
onde \r
\r
é a função Beta normalizadora. Em forma de kernel: \r
Passo 4
Pela regra de Bayes, a densidade a posteriori satisfaz\r
\r
ou seja \r
Isso coincide com o kernel de uma Beta de parâmetros
e
.
Resposta
A distribuição a posteriori de
é\r
mostrando que a família Beta é conjugada à Binomial.