Mostrar que ocorre a conjugação nos casos:
Uma única observação de X sim b(n, theta) e priori theta sim Beta(alpha, beta)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma única observação X que segue a distribuição binomial com parâmetros n e theta, ou seja \r
;Xsim Bin(n,theta)\r
e que a priori temos \r
;thetasim Beta(alpha,beta)\r
Queremos mostrar que, aplicando o Teorema de Bayes, a distribuição a posteriori de theta também é uma Beta (ou seja, a família Beta é conjugada à Binomial).

Passo 2

Escrevemos a função de verossimilhança de X em função de theta. Para uma observação X=x, \r
\r
Como binomnx não depende de theta, em termos de kernel de theta temos \r
;f(xmid theta)propto theta^x,(1-theta)^,n-x

Passo 3

A densidade a priori de theta (Beta) é \r
\r
onde \r
\r
é a função Beta normalizadora. Em forma de kernel: \r
;pi(theta)propto theta^alpha-1,(1-theta)^beta-1

Passo 4

Pela regra de Bayes, a densidade a posteriori satisfaz\r
\r
ou seja \r
;p(thetamid x)propto theta^,(alpha-1)+x;(1-theta)^,(beta-1)+(n-x)\r
Isso coincide com o kernel de uma Beta de parâmetros alpha+x e beta+n-x.

Resposta

A distribuição a posteriori de thetamid X=x é\r
;thetamid X=x;sim;Betal(alpha+x,;beta+n-xr),\r
mostrando que a família Beta é conjugada à Binomial.

Exercícios relacionados