Mostrar que ocorre a conjugação nos casos:
Amostra X1, ldots, Xn i.i.d Poisson( theta ) e Priori theta sim Gama(a, b)

Passo 1

O enunciado considera uma amostra X1,dots,Xn i.i.d. de Poisson com parâmetro theta, ou seja
P(Xi=ximid theta)=theta^xie^-thetaxi!,
A priori temos thetasimGama(a,b) com densidade
pi(theta)=b^aGamma(a),theta^a-1e^-btheta, theta>0
Queremos mostrar que a priori Gama(a,b) e a verossimilhança de Poisson formam família conjugada, i.e., que a posterior também é Gama.

Passo 2

Escrevemos a verossimilhança conjunta dos dados condicionada a theta:
L(theta)=prodi=1^nP(Xi=ximid theta) =prodi=1^ntheta^xie^-thetaxi! =theta^sumi=1^n xi,e^-nthetaprodi=1^n xi!

Passo 3

Pela regra de Bayes, a densidade a posteriori é proporcional ao produto da verossimilhança pela densidade a priori:
pi(thetamid x) propto L(theta),pi(theta) propto theta^sum xi,e^-nthetatimes theta^a-1e^-btheta

Passo 4

Agrupando os fatores em theta e descartando constantes em relação a theta, obtemos
pi(thetamid x) propto theta^(sumi=1^n xi)+(a-1), e^-(n+b)theta
Isso é exatamente o kernel de uma distribuição Gama com parâmetro de forma a' = a + sumi=1^n xi e parâmetro de taxa b' = b + n.

Resposta

A distribuição a posteriori é
thetamid X1,dots,Xnsim Gamal(a+sumi=1^nXi,,,b+nr)

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