Mostrar que ocorre a conjugação nos casos:
Amostra
i.i.d Poisson(
) e Priori
Amostra
Passo 1
O enunciado considera uma amostra
i.i.d. de Poisson com parâmetro
, ou seja
A priori temos
com densidade
Queremos mostrar que a priori
e a verossimilhança de Poisson formam família conjugada, i.e., que a posterior também é Gama.
Passo 2
Escrevemos a verossimilhança conjunta dos dados condicionada a
:
Passo 3
Pela regra de Bayes, a densidade a posteriori é proporcional ao produto da verossimilhança pela densidade a priori:
Passo 4
Agrupando os fatores em
e descartando constantes em relação a
, obtemos
Isso é exatamente o kernel de uma distribuição Gama com parâmetro de forma
e parâmetro de taxa
.
Resposta
A distribuição a posteriori é