Questão 4 (2,5 pontos)

Qual é a probabilidade que o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio se encontre dentro do núcleo? Considere o raio de Bohr como a0=0,5 times 10^-10 m e o raio do núcleo como b=10^-15 m.
Dados: são funções de onda radiais para o átomo de hidrogênio
& R10(r)=2 a0-3 / 2 e^-r / a0 & R20(r)=1raiz2 a0 ^3(1-r2 a0) e^-r / 2 a0 & R21(r)=1raiz6 a0 ^3 r2 a0 e^-r / 2 a0

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio dentro de um núcleo de raio b=10^-15, m, sabendo que o raio de Bohr é a0=0,5times10^-10, m. O conteúdo que vamos usar é a densidade de probabilidade radial, que para estados com momento angular zero satisfaz
P(r<= b)=integral0^bl|R10(r)r|^2r^2, dr,
onde R10(r) é a parte radial da função de onda do estado fundamental.

Passo 2

Para o estado (n,ell)=(1,0) temos
R10(r)=2,a0^-3/2,e^-r/a0
Como a função de onda total é psi100(r,theta,phi)=R10(r)Y0^0(theta,phi) e l|Y0^0r|^2=1/(4pi), a parte angular integra para 1, ficando
P(r<= b)=integral0^bl|R10(r)r|^2,r^2, dr

Passo 3

Substituindo R10(r) na integral,
l|R10(r)r|^2 =4,a0^-3,e^-2r/a0,
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P(r<= b)=4,a0^-3 integral0^be^-2r/a0,r^2, dr

Passo 4

Como bll a0, temos e^-2r/a0approx1 dentro de [0,b]. Assim
P(r<= b)approx4,a0^-3 integral0^br^2, dr =43,b^3a0^3

Passo 5

Agora substituímos numericamente:
b=10^-15, m, a0=0,5times10^-10, m=5times10^-11, m
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ba0=10^-155times10^-11=2times10^-5,
Papprox43,(2times10^-5)^3 =43times8times10^-15 approx1,07times10^-14

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron dentro do núcleo é aproximadamente
Papprox1,07times10^-14

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