Qual é a probabilidade que o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio se encontre dentro do núcleo? Considere o raio de Bohr como e o raio do núcleo como .
Dados: são funções de onda radiais para o átomo de hidrogênio
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio dentro de um núcleo de raio , sabendo que o raio de Bohr é . O conteúdo que vamos usar é a densidade de probabilidade radial, que para estados com momento angular zero satisfaz
onde R10(r) é a parte radial da função de onda do estado fundamental.
Passo 2
Para o estado (n,ell)=(1,0) temos
R10(r)=2,a0^-3/2,e^-r/a0
Como a função de onda total é psi100(r,theta,phi)=R10(r)Y0^0(theta,phi) e l|Y0^0r|^2=1/(4pi), a parte angular integra para 1, ficando
P(r<= b)=integral0^bl|R10(r)r|^2,r^2, dr
Passo 3
Substituindo R10(r) na integral,
l|R10(r)r|^2 =4,a0^-3,e^-2r/a0,
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P(r<= b)=4,a0^-3 integral0^be^-2r/a0,r^2, dr
Passo 4
Como bll a0, temos e^-2r/a0approx1 dentro de [0,b]. Assim
P(r<= b)approx4,a0^-3 integral0^br^2, dr =43,b^3a0^3