Seja T: R^3 longrightarrow R^3 uma transformação linear cuja matriz com relação a base canônica seja
(ccc 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 )
O operador T é invertível? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1
Queremos saber se T é invertível. Para isso, vamos usar o critério de invertibilidade para operadores lineares finito-dimensionais: T é invertível se, e somente se, det(A)neq0.

Passo 2

Calculemos o determinante de A pela regra de Sarrus ou desenvolvimento por cofactores na primeira linha. Usando cofactores:
det(A) =1cdotdet0 & 1 -1 & -1 -1cdotdet-1 & 1 0 & -1 +0cdot(cdots)
Agora,
det0 & 1 -1 & -1 =0cdot(-1)-1cdot(-1)=1,
det-1 & 1 0 & -1 =(-1)cdot(-1)-1cdot0=1
Logo,
det(A)=1cdot1-1cdot1=0

Passo 3

Pelo teorema de álgebra linear, T é invertível se, e somente se, det(A)neq0. Como obtivemos det(A)=0, concluímos que T não é invertível.

Resposta

T não é invertível, pois det(A)=0.

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