Considerando a, b e c vetores constantes, calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
a(r cdot b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial específico: V(r) = a (r cdot b). A matéria envolvida aqui é o Cálculo Vetorial, especificamente os conceitos de divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar usar as definições dessas operações e algumas propriedades dos vetores constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo V = (Vx, Vy, Vz), o divergente é:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
No nosso caso, V(r) = a (r cdot b). Como a e b são vetores constantes, podemos escrever r cdot b como uma função escalar.

Passo 3

Vamos calcular o divergente. Primeiro, vamos expandir o campo vetorial:
V(r) = a (r cdot b) = ax (r cdot b) i + ay (r cdot b) j + az (r cdot b) k
Agora, aplicamos a definição do divergente:
nabla cdot V = partialpartial x [ax (r cdot b)] + partialpartial y [ay (r cdot b)] + partialpartial z [az (r cdot b)]
Como a e b são constantes, as derivadas das componentes de a são zero. Então, podemos tirar a e b fora das derivadas:
nabla cdot V = ax partial (r cdot b)partial x + ay partial (r cdot b)partial y + az partial (r cdot b)partial z
Sabemos que r = xi + yj + zk, então:
r cdot b = x bx + y by + z bz
Portanto, as derivadas são:
partial (r cdot b)partial x = bx partial (r cdot b)partial y = by partial (r cdot b)partial z = bz
Substituindo de volta:
nabla cdot V = ax bx + ay by + az bz = a cdot b

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional, que nos indica a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de um campo V = (Vx, Vy, Vz) é:
nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z ) i + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x ) j + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) k
Vamos aplicar isso ao nosso campo V(r) = a (r cdot b).

Passo 5

Primeiro, expandimos novamente o campo:
V = ax (r cdot b) i + ay (r cdot b) j + az (r cdot b) k
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  • Para a componente i:
partial Vzpartial y - partial Vypartial z = partialpartial y [az (r cdot b)] - partialpartial z [ay (r cdot b)]
Novamente, como a e b são constantes:
= az by - ay bz
  • Para a componente j:
partial Vxpartial z - partial Vzpartial x = partialpartial z [ax (r cdot b)] - partialpartial x [az (r cdot b)]
= ax bz - az bx
  • Para a componente k:
partial Vypartial x - partial Vxpartial y = partialpartial x [ay (r cdot b)] - partialpartial y [ax (r cdot b)]
= ay bx - ax by

Passo 6

Juntando todas as componentes, temos:
nabla times V = (az by - ay bz) i + (ax bz - az bx) j + (ay bx - ax by) k
Podemos também escrever isso de forma mais compacta usando o produto vetorial:
nabla times V = a times b

Resposta

O divergente do campo vetorial é nabla cdot V = a cdot b e o rotacional é nabla times V = a times b.

Exercícios relacionados