Considerando
,
e
vetores constantes, calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial específico:
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Vetorial, especificamente os conceitos de divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar usar as definições dessas operações e algumas propriedades dos vetores constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo
, o divergente é:
No nosso caso,
. Como
e
são vetores constantes, podemos escrever
como uma função escalar.
Passo 3
Vamos calcular o divergente. Primeiro, vamos expandir o campo vetorial:
Agora, aplicamos a definição do divergente:
Como
e
são constantes, as derivadas das componentes de
são zero. Então, podemos tirar
e
fora das derivadas:
Sabemos que
, então:
Portanto, as derivadas são:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional, que nos indica a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de um campo
é:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
.
Passo 5
Primeiro, expandimos novamente o campo:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
- Para a componente
:
Novamente, como
e
são constantes:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Passo 6
Juntando todas as componentes, temos:
Podemos também escrever isso de forma mais compacta usando o produto vetorial:
Resposta
O divergente do campo vetorial é
e o rotacional é
.