Considerando que um banco deseja limitar a taxa efetiva para o desconto comercial simples a 2,5 \% ao mês e que um certo título será descontado quatro meses antes do seu vencimento, determine qual deve ser a taxa de desconto comercial dessa operação.

Passo 1

O enunciado diz que o banco quer limitar a taxa efetiva mensal resultante de uma operação de desconto comercial simples a \,2{,}5\% ao mês, e que o título será descontado com antecedência de 4 meses. Vamos achar a taxa de desconto comercial simples \,d que garante essa taxa efetiva.

Passo 2

Em desconto comercial simples, o valor recebido pelo banco hoje (preço) é
P = M\,(1 - d\,n),
onde M é o valor de face do título, d é a taxa de desconto por mês e n é o prazo em meses.

Passo 3

O juro total recebido pelo banco ao final de n meses é
I = M - P = M\,d\,n.
Como queremos comparar com a taxa efetiva simples mensal i, notamos que
\text{taxa efetiva total em }n\text{ meses} = \frac{I}{P} = \frac{M\,d\,n}{M\,(1 - d\,n)} = \frac{d\,n}{1 - d\,n}.
Para converter em taxa efetiva mensal i (simples), dividimos por n:
i = \frac{1}{n}\,\frac{d\,n}{1 - d\,n} = \frac{d}{1 - d\,n}.

Passo 4

Queremos que i = 2{,}5\% = 0{,}025 e n=4. Logo,
0{,}025 = \frac{d}{1 - 4\,d}.
Resolvendo para d:
0{,}025\,(1 - 4d) = d \quad\Longrightarrow\quad 0{,}025 - 0{,}1\,d = d \quad\Longrightarrow\quad 0{,}025 = 1{,}1\,d \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{0{,}025}{1{,}1}.

Passo 5

Calculando,
d = \frac{0{,}025}{1{,}1} \approx 0{,}02272727,
ou seja, aproximadamente 2{,}27\% ao mês.

Resposta

A taxa de desconto comercial deve ser de aproximadamente 2{,}27\% ao mês.

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