Considerando cada uma das funções quadráticas definidas a seguir,
a)
.
b)
.
c)
.
i) Escreva a expressão de
na forma canônica (complete quadrados), isto é, na forma
ii) A partir da forma canônica e sem o uso da “fórmula de Bhaskara”, dê as raízes de
, se existirem.
iii) A partir da forma canônica, diga se
possui um valor máximo ou um valor mínimo, justificando. Determine este valor máximo ou mínimo, e diga para que valor de
ele ocorre. Determine também o eixo de simetria do gráfico de
.
iv) Utilizando a forma canônica encontrada no item (a), esboce o gráfico de
, obtido a partir do gráfico da função definida por
.
a)
b)
c)
i) Escreva a expressão de
iii) A partir da forma canônica, diga se
iv) Utilizando a forma canônica encontrada no item (a), esboce o gráfico de
Passo 1
Resumindo, temos três funções quadráticas
a)
b)
c)
e queremos para cada uma:
i) forma canônica por completar quadrados,
ii) suas raízes (se existirem) sem Bhaskara,
iii) mostrar se há máximo ou mínimo, seu valor e eixo de simetria,
iv) esboçar o gráfico como transformação de .
a)
b)
c)
e queremos para cada uma:
i) forma canônica
ii) suas raízes (se existirem) sem Bhaskara,
iii) mostrar se há máximo ou mínimo, seu valor e eixo de simetria,
iv) esboçar o gráfico como transformação de
Passo 2
Para a)
, fatoramos
nos termos quadrático e linear:
Completa-se o quadrado em
somando e subtraindo
:
Logo
Passo 3
As raízes vêm de
, ou seja
Passo 4
Como o coeficiente
, há valor máximo. O vértice é
, então o máximo vale
em
. O eixo de simetria é
.
Passo 5
Para esboçar via
: deslocamos 2 para a direita, aplicamos escala vertical de fator 2 e reflexão (por causa de
), e por fim elevamos 4 unidades.
Passo 6
Para b)
, completamos quadrado em
somando e subtraindo
:
Portanto
Passo 7
As raízes vêm de
:, isto é
, não há solução real.
Passo 8
Aqui
, então temos mínimo. O vértice é
, valor mínimo
em
, e eixo de simetria
.
Passo 9
Para o gráfico: deslocamos 4 para a direita e 7 para cima a partir de
.
Passo 10
Para c)
, reescrevemos como
e fatoramos
:
Passo 11
As raízes vêm de
:, ou seja
, logo
e
ou
.
Passo 12
Como
, há máximo. Vértice em
dá valor máximo
em
. Eixo de simetria
.
Passo 13
Para o esboço: deslocar 2 para a direita, aplicar escala 2 e reflexão vertical, e elevar 8 unidades ao gráfico de
.
Resposta
a)
Raízes: .
Máximo em
. Eixo de simetria
.
Raízes:
Máximo
b)
Sem raízes reais.
Mínimo em
. Eixo de simetria
.
Sem raízes reais.
Mínimo
c)
Raízes: .
Máximo em
. Eixo de simetria
.
Raízes:
Máximo