Considerando cada uma das funções quadráticas definidas a seguir,
a) f(x)=-2 x^{2}+8 x-4.
b) f(x)=x^{2}-8 x+23.
c) f(x)=8 x-2 x^{2}.
i) Escreva a expressão de f na forma canônica (complete quadrados), isto é, na forma
f(x)=a(x-k)^{2}+h .
ii) A partir da forma canônica e sem o uso da “fórmula de Bhaskara”, dê as raízes de f, se existirem.
iii) A partir da forma canônica, diga se f possui um valor máximo ou um valor mínimo, justificando. Determine este valor máximo ou mínimo, e diga para que valor de x ele ocorre. Determine também o eixo de simetria do gráfico de f.
iv) Utilizando a forma canônica encontrada no item (a), esboce o gráfico de f, obtido a partir do gráfico da função definida por g(x)=x^{2}.

Passo 1

Resumindo, temos três funções quadráticas
a) f(x)=-2x^2+8x-4
b) f(x)=x^2-8x+23
c) f(x)=8x-2x^2
e queremos para cada uma:
i) forma canônica \,a(x-k)^2+h por completar quadrados,
ii) suas raízes (se existirem) sem Bhaskara,
iii) mostrar se há máximo ou mínimo, seu valor e eixo de simetria,
iv) esboçar o gráfico como transformação de g(x)=x^2.

Passo 2

Para a) f(x)=-2x^2+8x-4, fatoramos -2 nos termos quadrático e linear:
f(x)=-2\bigl(x^2-4x\bigr)-4.
Completa-se o quadrado em x^2-4x somando e subtraindo 4:
x^2-4x+4-4=(x-2)^2-4.
Logo
f(x)=-2\bigl[(x-2)^2-4\bigr]-4=-2(x-2)^2+8-4=-2(x-2)^2+4.

Passo 3

As raízes vêm de -2(x-2)^2+4=0, ou seja
(x-2)^2=2\quad\Longrightarrow\quad x-2=\pm\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad x=2\pm\sqrt2.

Passo 4

Como o coeficiente -2<0, há valor máximo. O vértice é (k,h)=(2,4), então o máximo vale 4 em x=2. O eixo de simetria é x=2.

Passo 5

Para esboçar via g(x)=x^2: deslocamos 2 para a direita, aplicamos escala vertical de fator 2 e reflexão (por causa de -2), e por fim elevamos 4 unidades.

Passo 6

Para b) f(x)=x^2-8x+23, completamos quadrado em x^2-8x somando e subtraindo 16:
x^2-8x+16-16+23=(x-4)^2+7.
Portanto
f(x)=(x-4)^2+7.

Passo 7

As raízes vêm de (x-4)^2+7=0:, isto é (x-4)^2=-7, não há solução real.

Passo 8

Aqui a=1>0, então temos mínimo. O vértice é (4,7), valor mínimo 7 em x=4, e eixo de simetria x=4.

Passo 9

Para o gráfico: deslocamos 4 para a direita e 7 para cima a partir de g(x)=x^2.

Passo 10

Para c) f(x)=8x-2x^2, reescrevemos como -2x^2+8x e fatoramos -2:
f(x)=-2\bigl(x^2-4x\bigr)=-2\bigl[(x-2)^2-4\bigr]=-2(x-2)^2+8.

Passo 11

As raízes vêm de -2(x-2)^2+8=0:, ou seja (x-2)^2=4, logo x-2=\pm2 e x=0 ou x=4.

Passo 12

Como -2<0, há máximo. Vértice em (2,8) dá valor máximo 8 em x=2. Eixo de simetria x=2.

Passo 13

Para o esboço: deslocar 2 para a direita, aplicar escala 2 e reflexão vertical, e elevar 8 unidades ao gráfico de g(x)=x^2.

Resposta

a) f(x)=-2x^2+8x-4=-2(x-2)^2+4
Raízes: x=2\pm\sqrt2.
Máximo 4 em x=2. Eixo de simetria x=2.
b) f(x)=x^2-8x+23=(x-4)^2+7
Sem raízes reais.
Mínimo 7 em x=4. Eixo de simetria x=4.
c) f(x)=8x-2x^2=-2(x-2)^2+8
Raízes: x=0,4.
Máximo 8 em x=2. Eixo de simetria x=2.

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