Determine e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis. f(x, y)=x y+2 x-\ln \left(x^{2} . y\right) com x>0 e y>0 \quad
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine e classifique todos os pontos críticos da função
f(x,y)=x y+2 x-\ln\left(x^{2}\cdot y\right)
no domínio dado x>0 e y>0. Informações relevantes fornecidas:
A função está definida apenas para x>0 e y>0 (por causa do logaritmo).
Precisamos encontrar todos os pontos (x,y) do domínio onde o gradiente é nulo (ou onde a função não é diferenciável) — esses são os pontos críticos.
Para cada ponto crítico encontrado, precisamos dizer se é mínimo local, máximo local, ponto de sela ou se o teste é inconclusivo.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do logaritmo para facilitar derivação. Usando \ln(a b)=\ln a+\ln b e \ln(x^{2})=2\ln x, reescrevemos
f(x,y)=x y+2 x-2\ln x-\ln y.
Agora vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre: a derivada de \ln u em relação a u é 1/u, e a derivada de \ln x em relação a x é 1/x.
Derivada parcial em relação a x: a derivada de x y em relação a x é y, a de 2x é 2, a de -2\ln x é -2\cdot(1/x)=-2/x, e -\ln y é constante relativamente a x. Assim
f_x(x,y)=y+2-\frac{2}{x}.
Derivada parcial em relação a y: a derivada de x y em relação a y é x, a de -\ln y é -1/y, e os demais termos são constantes em y. Assim
f_y(x,y)=x-\frac{1}{y}.
Passo 3
Pontos críticos ocorrem onde o gradiente é zero (pois a função é diferenciável no domínio). Ou seja, resolvemos o sistema
Da segunda equação temos x=\dfrac{1}{y}, ou equivalentemente y=\dfrac{1}{x} (note que x,y>0 então isso é válido). Substituindo y=\dfrac{1}{x} na primeira equação:
Então y=\dfrac{1}{x}=2. Verificamos que x>0 e y>0, portanto \left(\dfrac{1}{2},2\right) é um ponto crítico. Não há outras soluções do sistema, logo é o único ponto crítico no domínio.]
Passo 4
Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Para funções de duas variáveis, definimos: