Determine e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis.
f(x, y)=x y+2 x-\ln \left(x^{2} . y\right) com x>0 e y>0 \quad

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine e classifique todos os pontos críticos da função
f(x,y)=x y+2 x-\ln\left(x^{2}\cdot y\right)
no domínio dado x>0 e y>0. Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida apenas para x>0 e y>0 (por causa do logaritmo).
  • Precisamos encontrar todos os pontos (x,y) do domínio onde o gradiente é nulo (ou onde a função não é diferenciável) — esses são os pontos críticos.
  • Para cada ponto crítico encontrado, precisamos dizer se é mínimo local, máximo local, ponto de sela ou se o teste é inconclusivo.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do logaritmo para facilitar derivação. Usando \ln(a b)=\ln a+\ln b e \ln(x^{2})=2\ln x, reescrevemos
f(x,y)=x y+2 x-2\ln x-\ln y.
Agora vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre: a derivada de \ln u em relação a u é 1/u, e a derivada de \ln x em relação a x é 1/x.
  • Derivada parcial em relação a x: a derivada de x y em relação a x é y, a de 2x é 2, a de -2\ln x é -2\cdot(1/x)=-2/x, e -\ln y é constante relativamente a x. Assim
f_x(x,y)=y+2-\frac{2}{x}.
  • Derivada parcial em relação a y: a derivada de x y em relação a y é x, a de -\ln y é -1/y, e os demais termos são constantes em y. Assim
f_y(x,y)=x-\frac{1}{y}.

Passo 3

Pontos críticos ocorrem onde o gradiente é zero (pois a função é diferenciável no domínio). Ou seja, resolvemos o sistema
\begin{cases} f_x(x,y)=0,\\[4pt] f_y(x,y)=0. \end{cases}
Substituindo as derivadas:
\begin{cases} y+2-\dfrac{2}{x}=0,\\[6pt] x-\dfrac{1}{y}=0. \end{cases}
Da segunda equação temos x=\dfrac{1}{y}, ou equivalentemente y=\dfrac{1}{x} (note que x,y>0 então isso é válido). Substituindo y=\dfrac{1}{x} na primeira equação:
\dfrac{1}{x}+2-\dfrac{2}{x}=0.
Simplificando:
-\dfrac{1}{x}+2=0 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{1}{x}=-2 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{x}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1}{2}.
Então y=\dfrac{1}{x}=2. Verificamos que x>0 e y>0, portanto \left(\dfrac{1}{2},2\right) é um ponto crítico. Não há outras soluções do sistema, logo é o único ponto crítico no domínio.]

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Para funções de duas variáveis, definimos:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix},
e o determinante da Hessiana é D=f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2}. O teste padrão:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há um mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há um máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas a partir de f_x e f_y:
  • f_x(x,y)=y+2-\dfrac{2}{x}
f_{xx}(x,y)=\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{2}{x}\right)=\frac{2}{x^{2}}.
  • Derivando f_x em relação a y (ou f_y em relação a x) obtemos
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=1.
  • De f_y(x,y)=x-\dfrac{1}{y} obtemos
f_{yy}(x,y)=\frac{d}{dy}\!\left(-\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{y^{2}}.
Portanto a Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{x^{2}} & 1\\[6pt] 1 & \dfrac{1}{y^{2}}\end{pmatrix}
e seu determinante é
D(x,y)=\frac{2}{x^{2}}\cdot\frac{1}{y^{2}}-1=\frac{2}{x^{2}y^{2}}-1.]

Passo 5

Avaliaremos f_{xx} e D no ponto crítico \left(\dfrac{1}{2},2\right).
  • Primeiro x^{2}y^{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\cdot 2^{2}=\dfrac{1}{4}\cdot 4=1.
  • Então
D\!\left(\tfrac{1}{2},2\right)=\frac{2}{1}-1=1>0.
  • E
f_{xx}\!\left(\tfrac{1}{2},2\right)=\frac{2}{x^{2}}=\frac{2}{(1/2)^{2}}=\frac{2}{1/4}=8>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, pelo teste das segundas derivadas concluímos que \left(\dfrac{1}{2},2\right) é um mínimo local.
Como extra rápido (opcional para intuição), o valor da função nesse ponto é
f\!\left(\tfrac{1}{2},2\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2+2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)-2\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-\ln 2=1+1+2\ln 2-\ln 2=2+\ln 2,
mas isso não muda a classificação.

Resposta

Ponto crítico: \left(\dfrac{1}{2},2\right)
Classificação: mínimo local (valor de f em \left(\dfrac{1}{2},2\right) é 2+\ln 2).

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