Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
\max x_{1} x_{2}-10 x_{1}+4 x_{2} em X_{0}=\binom{-4}{10}
Ponto a testar: X_{0} = \begin{pmatrix}-4 \\[4pt] 10\end{pmatrix}, ou seja \,x_{1}=-4 e \,x_{2}=10.\n
Pergunta: indicar se o ponto X_{0} verifica as condições de otimalidade de primeira ordem.]
Passo 2
O que significa “condições de otimalidade de primeira ordem” no caso irrestrito (sem restrições) e por que isso importa:\n
Para uma função diferenciável de duas variáveis, uma condição necessária para que um ponto seja extremo local (máximo ou mínimo) é que o gradiente seja o vetor nulo nesse ponto. Em palavras: se X_{0} é um máximo ou mínimo local e f é diferenciável, então \nabla f(X_{0}) = 0.\n
O gradiente \nabla f(x_{1},x_{2}) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
Cada derivada parcial mede a taxa de variação de f quando variamos apenas uma das coordenadas, mantendo a outra fixa. A condição \nabla f(X_{0})=0 significa que, infinitesimalmente, não há direção (nas direções dos eixos) que aumente ou diminua f primeiro—é um ponto estacionário.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f passo a passo:\n
Começamos da definição f(x_{1},x_{2}) = x_{1}x_{2} - 10x_{1} + 4x_{2}.\n
Derivada parcial em relação a x_{1}: tratar x_{2} como constante. A derivada de x_{1}x_{2} em relação a x_{1} é x_{2}. A derivada de -10x_{1} é -10. A derivada de 4x_{2} em relação a x_{1} é 0. Logo,
Derivada parcial em relação a x_{2}: tratar x_{1} como constante. A derivada de x_{1}x_{2} em relação a x_{2} é x_{1}. A derivada de -10x_{1} é 0. A derivada de 4x_{2} é 4. Logo,
Conclusão dessa etapa: X_{0} é um ponto crítico (ponto estacionário) porque verifica a condição de primeira ordem \nabla f(X_{0})=0.]
Passo 5
Observação final útil para a prova (completa a compreensão da primeira ordem):\n
A condição de primeira ordem (\nabla f(X_{0})=0) é necessária para extremos locais em problemas irrestritos, e acabamos de confirmar que X_{0} a satisfaz.\n
Importante: essa condição não garante que X_{0} seja máximo nem mínimo — apenas que é ponto estacionário. Para decidir se é máximo, mínimo ou sela, usaríamos condições de segunda ordem (matriz Hessiana). Só para ilustrar rapidamente: a Hessiana aqui é