Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
  • \max x_{1} x_{2}-10 x_{1}+4 x_{2} em X_{0}=\binom{-4}{10}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:\n
  • Função objetivo (problema irrestrito): f(x_{1},x_{2}) = x_{1}x_{2} - 10x_{1} + 4x_{2}.\n
  • Ponto a testar: X_{0} = \begin{pmatrix}-4 \\[4pt] 10\end{pmatrix}, ou seja \,x_{1}=-4 e \,x_{2}=10.\n
  • Pergunta: indicar se o ponto X_{0} verifica as condições de otimalidade de primeira ordem.]

Passo 2

O que significa “condições de otimalidade de primeira ordem” no caso irrestrito (sem restrições) e por que isso importa:\n
  • Para uma função diferenciável de duas variáveis, uma condição necessária para que um ponto seja extremo local (máximo ou mínimo) é que o gradiente seja o vetor nulo nesse ponto. Em palavras: se X_{0} é um máximo ou mínimo local e f é diferenciável, então \nabla f(X_{0}) = 0.\n
  • O gradiente \nabla f(x_{1},x_{2}) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2}) \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2}) \end{pmatrix}.
  • Cada derivada parcial mede a taxa de variação de f quando variamos apenas uma das coordenadas, mantendo a outra fixa. A condição \nabla f(X_{0})=0 significa que, infinitesimalmente, não há direção (nas direções dos eixos) que aumente ou diminua f primeiro—é um ponto estacionário.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo:\n
  • Começamos da definição f(x_{1},x_{2}) = x_{1}x_{2} - 10x_{1} + 4x_{2}.\n
  • Derivada parcial em relação a x_{1}: tratar x_{2} como constante. A derivada de x_{1}x_{2} em relação a x_{1} é x_{2}. A derivada de -10x_{1} é -10. A derivada de 4x_{2} em relação a x_{1} é 0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2}) = x_{2} - 10.
  • Derivada parcial em relação a x_{2}: tratar x_{1} como constante. A derivada de x_{1}x_{2} em relação a x_{2} é x_{1}. A derivada de -10x_{1} é 0. A derivada de 4x_{2} é 4. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2}) = x_{1} + 4.
  • Assim o gradiente geral é
\nabla f(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix} x_{2}-10 \\[4pt] x_{1}+4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliar o gradiente em X_{0} = \begin{pmatrix}-4 \\[4pt] 10\end{pmatrix}:\n
  • Substituindo x_{1}=-4 e x_{2}=10 nas componentes encontradas:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(-4,10) = 10 - 10 = 0,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(-4,10) = -4 + 4 = 0.
  • Portanto
\nabla f(X_{0}) = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
  • Conclusão dessa etapa: X_{0} é um ponto crítico (ponto estacionário) porque verifica a condição de primeira ordem \nabla f(X_{0})=0.]

Passo 5

Observação final útil para a prova (completa a compreensão da primeira ordem):\n
  • A condição de primeira ordem ( \nabla f(X_{0})=0) é necessária para extremos locais em problemas irrestritos, e acabamos de confirmar que X_{0} a satisfaz.\n
  • Importante: essa condição não garante que X_{0} seja máximo nem mínimo — apenas que é ponto estacionário. Para decidir se é máximo, mínimo ou sela, usaríamos condições de segunda ordem (matriz Hessiana). Só para ilustrar rapidamente: a Hessiana aqui é
Hf(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix},
cuja forma indefinida indica que o ponto estacionário é um ponto de sela (mas isso é além do pedido; anote isso só se quiser classificar).]

Resposta

Sim: \nabla f(X_{0}) = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}, logo X_{0} verifica as condições de otimalidade de primeira ordem.]

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