Verifique se a função f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1} x_{2} x_{3}-4 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1}-4 x_{2}+ 4 x_{3} tem os pontos estacionários (0,3,1),(0,1,-1),(1,2,0),(2,1,1) e (2,3,-1). Use a condição de suficiência para identificar os pontos extremos.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}x_{2}x_{3}-4x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{1}-4x_{2}+4x_{3}
e pede duas coisas: (i) verificar se os pontos
(0,3,1),\quad (0,1,-1),\quad (1,2,0),\quad (2,1,1),\quad (2,3,-1)
são pontos estacionários (ou seja, se a derivada primeira (gradiente) é zero nesses pontos); (ii) usar a condição de suficiência (segunda derivada / Hessiana) para identificar se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f e a lista dos cinco pontos que devemos testar. A partir daqui vamos calcular gradiente, verificar igualdade a zero em cada ponto e depois analisar a Hessiana para classificar os extremos.

Passo 2

Calcular o gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x_{1},\partial f/\partial x_{2},\partial f/\partial x_{3}). Vou explicar rapidinho como calcular cada derivada parcial: trate uma variável como a variável de diferenciação e as outras como constantes; quando houver produto use a regra do produto.
Derivando termo a termo:
  • Para \partial f/\partial x_{1}: o termo 2x_{1}x_{2}x_{3} 2x_{2}x_{3}; -4x_{1}x_{3} -4x_{3}; x_{1}^{2} 2x_{1}; -2x_{1} -2. Os demais termos não dependem de x_{1}.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=2x_{2}x_{3}-4x_{3}+2x_{1}-2.
  • Para \partial f/\partial x_{2}: 2x_{1}x_{2}x_{3} 2x_{1}x_{3}; -2x_{2}x_{3} -2x_{3}; x_{2}^{2} 2x_{2}; -4x_{2} -4. Logo
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2x_{1}x_{3}-2x_{3}+2x_{2}-4.
  • Para \partial f/\partial x_{3}: 2x_{1}x_{2}x_{3} 2x_{1}x_{2}; -4x_{1}x_{3} -4x_{1}; -2x_{2}x_{3} -2x_{2}; x_{3}^{2} 2x_{3}; +4x_{3} +4. Assim
\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=2x_{1}x_{2}-4x_{1}-2x_{2}+2x_{3}+4.
Então o gradiente geral é
\nabla f(x_{1},x_{2},x_{3})=\left(2x_{2}x_{3}-4x_{3}+2x_{1}-2,\;2x_{1}x_{3}-2x_{3}+2x_{2}-4,\;2x_{1}x_{2}-4x_{1}-2x_{2}+2x_{3}+4\right).

Passo 3

Verificar se cada ponto dado zera o gradiente. Vou avaliar as três componentes em cada ponto e mostrar as contas.
  1. Para \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,3,1):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=2\cdot3\cdot1-4\cdot1+2\cdot0-2=6-4+0-2=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2\cdot0\cdot1-2\cdot1+2\cdot3-4=0-2+6-4=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=2\cdot0\cdot3-4\cdot0-2\cdot3+2\cdot1+4=0-0-6+2+4=0.
Logo o gradiente é 0 neste ponto.
  1. Para \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,1,-1):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=2\cdot1\cdot(-1)-4(-1)+0-2=-2+4-2=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2\cdot0\cdot(-1)-2(-1)+2\cdot1-4=0+2+2-4=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=2\cdot0\cdot1-0-2\cdot1+2(-1)+4=0-2-2+4=0.
Gradiente também zero.
  1. Para \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,2,0):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=2\cdot2\cdot0-4\cdot0+2\cdot1-2=0+0+2-2=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2\cdot1\cdot0-2\cdot0+2\cdot2-4=0+0+4-4=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=2\cdot1\cdot2-4\cdot1-2\cdot2+2\cdot0+4=4-4-4+0+4=0.
Gradiente zero.
  1. Para \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,1,1):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=2\cdot1\cdot1-4\cdot1+2\cdot2-2=2-4+4-2=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2\cdot2\cdot1-2\cdot1+2\cdot1-4=4-2+2-4=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=2\cdot2\cdot1-4\cdot2-2\cdot1+2\cdot1+4=4-8-2+2+4=0.
Gradiente zero.
  1. Para \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,3,-1):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=2\cdot3\cdot(-1)-4(-1)+2\cdot2-2=-6+4+4-2=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2\cdot2\cdot(-1)-2(-1)+2\cdot3-4=-4+2+6-4=0,
\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=2\cdot2\cdot3-4\cdot2-2\cdot3+2(-1)+4=12-8-6-2+4=0.
Gradiente zero.
Conclusão deste passo: todos os cinco pontos são pontos estacionários (o gradiente anula-se em cada um).

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição de suficiência: para classificar um ponto crítico usamos a Hessiana (matriz das segundas derivadas). Vou calcular a Hessiana geral e explicar cada entrada.
Derivando novamente as componentes do gradiente, obtemos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{3}^{2}}=2.
As mistas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=2x_{3},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{3}}=2x_{2}-4,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{3}}=2x_{1}-2.
Assim a Hessiana é a matriz simétrica
H(x_{1},x_{2},x_{3})= \begin{pmatrix} 2 & 2x_{3} & 2x_{2}-4\\[4pt] 2x_{3} & 2 & 2x_{1}-2\\[4pt] 2x_{2}-4 & 2x_{1}-2 & 2 \end{pmatrix}.
Explicação da condição de suficiência que vamos usar (em linguagem simples): se a Hessiana num ponto crítico é definida positiva (todos autovalores positivos) então esse ponto é um mínimo local; se definida negativa (todos autovalores negativos) é um máximo local; se for indefinida (tem autovalores de sinais diferentes) é ponto de sela. Uma forma prática é olhar ao determinante das menores principais (critério de Sylvester) quando possível; também o sinal do determinante total e do traço ajudam. Se a Hessiana tiver determinante negativo, o produto dos autovalores é negativo, o que indica autovalores de sinais diferentes (logo indefinida → sela).]

Passo 5

Aplicar a Hessiana em cada ponto e analisar. Vou calcular H em cada ponto e usar determinantes/traço para concluir.
a) Em \,(0,3,1): substituindo x_{1}=0,x_{2}=3,x_{3}=1 na Hessiana:
H(0,3,1)= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 2 & -2\\[4pt] 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}.
Calculemos alguns invariantes: o determinante total vale \det H(0,3,1)=-32 (cálculo direto por expansão). Como o determinante é negativo, o produto dos autovalores é negativo, então há autovalores de sinais diferentes → Hessiana indefinida → ponto de sela.
b) Em \,(0,1,-1): com x_{1}=0,x_{2}=1,x_{3}=-1,
H(0,1,-1)= \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\[4pt] -2 & 2 & -2\\[4pt] -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}.
Esta matriz tem padrão especial (todos off-diagonais iguais a -2). Seus autovalores são 4,4,-2 (fórmula para matriz com a na diagonal e b fora: autovalores a-b com multiplicidade n-1 e a+(n-1)b). Logo há um autovalor negativo e dois positivos → indefinida → ponto de sela. O determinante também é -32.
c) Em \,(1,2,0): com x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=0,
H(1,2,0)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=2I_{3}.
Aqui todos os autovalores são 2>0, matrix definida positiva. Então esse ponto é um mínimo local (condição de suficiência satisfeita).
d) Em \,(2,1,1): com x_{1}=2,x_{2}=1,x_{3}=1,
H(2,1,1)= \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante é -32 (cálculo direto), portanto produto dos autovalores negativo → autovalores de sinais diferentes → Hessiana indefinida → ponto de sela.
e) Em \,(2,3,-1): com x_{1}=2,x_{2}=3,x_{3}=-1,
H(2,3,-1)= \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2\\[4pt] -2 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Também tem determinante -32, logo Hessiana indefinida → ponto de sela.
Observação didática rápida: quando a Hessiana é exatamente 2I (caso (1,2,0)) é imediata a definição positiva. Quando o determinante total é negativo já sabemos que há autovalores de sinais diferentes, o que nos permite concluir sela sem precisar achar autovalores explicitamente.]

Passo 6

Conclusão final (resumo): todos os cinco pontos dados são pontos estacionários; entre eles, apenas (1,2,0) é mínimo local (Hessiana definida positiva), e os outros quatro são pontos de sela (Hessiana indefinida).

Resposta

(0,3,1): ponto estacionário, ponto de sela.
(0,1,-1): ponto estacionário, ponto de sela.
(1,2,0): ponto estacionário, mínimo local.
(2,1,1): ponto estacionário, ponto de sela.
(2,3,-1): ponto estacionário, ponto de sela.

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