Verifique se a função f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1} x_{2} x_{3}-4 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1}-4 x_{2}+ 4 x_{3} tem os pontos estacionários (0,3,1),(0,1,-1),(1,2,0),(2,1,1) e (2,3,-1). Use a condição de suficiência para identificar os pontos extremos.
são pontos estacionários (ou seja, se a derivada primeira (gradiente) é zero nesses pontos); (ii) usar a condição de suficiência (segunda derivada / Hessiana) para identificar se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f e a lista dos cinco pontos que devemos testar. A partir daqui vamos calcular gradiente, verificar igualdade a zero em cada ponto e depois analisar a Hessiana para classificar os extremos.
Passo 2
Calcular o gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x_{1},\partial f/\partial x_{2},\partial f/\partial x_{3}). Vou explicar rapidinho como calcular cada derivada parcial: trate uma variável como a variável de diferenciação e as outras como constantes; quando houver produto use a regra do produto.
Derivando termo a termo:
Para \partial f/\partial x_{1}: o termo 2x_{1}x_{2}x_{3} dá 2x_{2}x_{3}; -4x_{1}x_{3} dá -4x_{3}; x_{1}^{2} dá 2x_{1}; -2x_{1} dá -2. Os demais termos não dependem de x_{1}.
Portanto
Para \partial f/\partial x_{3}: 2x_{1}x_{2}x_{3} dá 2x_{1}x_{2}; -4x_{1}x_{3} dá -4x_{1}; -2x_{2}x_{3} dá -2x_{2}; x_{3}^{2} dá 2x_{3}; +4x_{3} dá +4. Assim
Conclusão deste passo: todos os cinco pontos são pontos estacionários (o gradiente anula-se em cada um).
Passo 4
Agora vamos aplicar a condição de suficiência: para classificar um ponto crítico usamos a Hessiana (matriz das segundas derivadas). Vou calcular a Hessiana geral e explicar cada entrada.
Derivando novamente as componentes do gradiente, obtemos as segundas derivadas:
Explicação da condição de suficiência que vamos usar (em linguagem simples): se a Hessiana num ponto crítico é definida positiva (todos autovalores positivos) então esse ponto é um mínimo local; se definida negativa (todos autovalores negativos) é um máximo local; se for indefinida (tem autovalores de sinais diferentes) é ponto de sela. Uma forma prática é olhar ao determinante das menores principais (critério de Sylvester) quando possível; também o sinal do determinante total e do traço ajudam. Se a Hessiana tiver determinante negativo, o produto dos autovalores é negativo, o que indica autovalores de sinais diferentes (logo indefinida → sela).]
Passo 5
Aplicar a Hessiana em cada ponto e analisar. Vou calcular H em cada ponto e usar determinantes/traço para concluir.
a) Em \,(0,3,1): substituindo x_{1}=0,x_{2}=3,x_{3}=1 na Hessiana:
Calculemos alguns invariantes: o determinante total vale \det H(0,3,1)=-32 (cálculo direto por expansão). Como o determinante é negativo, o produto dos autovalores é negativo, então há autovalores de sinais diferentes → Hessiana indefinida → ponto de sela.
Esta matriz tem padrão especial (todos off-diagonais iguais a -2). Seus autovalores são 4,4,-2 (fórmula para matriz com a na diagonal e b fora: autovalores a-b com multiplicidade n-1 e a+(n-1)b). Logo há um autovalor negativo e dois positivos → indefinida → ponto de sela. O determinante também é -32.
O determinante é -32 (cálculo direto), portanto produto dos autovalores negativo → autovalores de sinais diferentes → Hessiana indefinida → ponto de sela.
Também tem determinante -32, logo Hessiana indefinida → ponto de sela.
Observação didática rápida: quando a Hessiana é exatamente 2I (caso (1,2,0)) é imediata a definição positiva. Quando o determinante total é negativo já sabemos que há autovalores de sinais diferentes, o que nos permite concluir sela sem precisar achar autovalores explicitamente.]
Passo 6
Conclusão final (resumo): todos os cinco pontos dados são pontos estacionários; entre eles, apenas (1,2,0) é mínimo local (Hessiana definida positiva), e os outros quatro são pontos de sela (Hessiana indefinida).
Resposta
(0,3,1): ponto estacionário, ponto de sela. (0,1,-1): ponto estacionário, ponto de sela. (1,2,0): ponto estacionário, mínimo local. (2,1,1): ponto estacionário, ponto de sela. (2,3,-1): ponto estacionário, ponto de sela.