Encontre o valor mínimo da função f(x, y)=x^{2}-x y+2 y^{2}, sujeita á restrição 2 x+y=22.
Resposta: f(9,4)=77 (exemplo de que é mínimo \mathrm{f}(11,0)=121>77=\mathrm{f}(9,4)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-x y+2 y^{2} e a restrição linear 2x+y=22.
Pede-se encontrar o valor mínimo de f sujeito a essa restrição e o ponto (x,y) onde esse mínimo ocorre.
Informações relevantes: a função é um polinômio quadrático em x e y e a restrição é uma reta (equação linear).

Passo 2

Vamos usar a restrição para eliminar uma variável e reduzir o problema a uma função de uma única variável (método algébrico direto). Da restrição 2x+y=22 isolamos y:
y=22-2x.
Isso é válido porque a reta dada permite escrever y em função de x; assim qualquer ponto viável (x,y) satisfaz essa relação.

Passo 3

Substituímos y=22-2x em f(x,y) para obter uma função de x apenas:
g(x)=f\bigl(x,\,22-2x\bigr)=x^{2}-x(22-2x)+2(22-2x)^{2}.
Agora vamos expandir cada termo passo a passo.

Passo 4

Calculando termo a termo:
-x(22-2x)=-22x+2x^{2},
e
(22-2x)^{2}=484-88x+4x^{2},
portanto
2(22-2x)^{2}=968-176x+8x^{2}.
Somando tudo:
g(x)=x^{2}+(-22x+2x^{2})+(968-176x+8x^{2}).
Agrupando coeficientes:
g(x)=11x^{2}-198x+968.
Aqui g(x) é um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} igual a 11>0, então é uma parábola voltada para cima e tem um mínimo único.

Passo 5

Para uma quadrática a x^{2}+b x+c com a>0, a abscissa do vértice (onde ocorre o mínimo) é dada por
x_v=-\frac{b}{2a}.
No nosso caso temos a=11 e b=-198. Calculamos:
x_v=-\frac{-198}{2\cdot 11}=\frac{198}{22}=9.
Portanto o valor de x que minimiza g(x) (e assim minimiza f sob a restrição) é x=9.

Passo 6

Encontramos y usando a restrição y=22-2x:
y=22-2\cdot 9=22-18=4.
Logo o ponto candidato é (x,y)=(9,4).

Passo 7

Calculamos o valor mínimo substituindo x=9 em g(x):
g(9)=11\cdot 9^{2}-198\cdot 9+968.
Fazendo as contas: 9^{2}=81, então 11\cdot 81=891; e 198\cdot 9=1782. Assim
g(9)=891-1782+968=1859-1782=77.
Portanto o valor mínimo de f sob a restrição é 77, atingido em (9,4).

Passo 8

(Confirmação rápida por método alternativo) Se quisermos confirmar com multiplicadores de Lagrange, definimos \mathcal{L}=x^{2}-xy+2y^{2}-\lambda(2x+y-22)\) e obtemos o sistema linear \[\begin{cases} 2x-y-2\lambda=0,\\[4pt] -x+4y-\lambda=0,\\[4pt] 2x+y=22. \end{cases}
Resolvendo esse sistema obtemos x=9\] e \(y=4, o que confirma o resultado anterior. Como verificação numérica rápida, f(11,0)=11^{2}-11\cdot0+2\cdot0^{2}=121>77, então (9,4) realmente fornece um valor menor.]

Resposta

Valor mínimo: 77
Atingido em: (9,4)

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