Encontre o valor mínimo da função
, sujeita á restrição
.
Resposta:
(exemplo de que é mínimo
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição linear
.
Pede-se encontrar o valor mínimo de sujeito a essa restrição e o ponto
onde esse mínimo ocorre.
Informações relevantes: a função é um polinômio quadrático em e
e a restrição é uma reta (equação linear).
Pede-se encontrar o valor mínimo de
Informações relevantes: a função é um polinômio quadrático em
Passo 2
Vamos usar a restrição para eliminar uma variável e reduzir o problema a uma função de uma única variável (método algébrico direto). Da restrição
isolamos
:
Isso é válido porque a reta dada permite escrever
em função de
; assim qualquer ponto viável
satisfaz essa relação.
Passo 3
Substituímos
em
para obter uma função de
apenas:
Agora vamos expandir cada termo passo a passo.
Passo 4
Calculando termo a termo:
e
portanto
Somando tudo:
Agrupando coeficientes:
Aqui
é um polinômio quadrático com coeficiente de
igual a
, então é uma parábola voltada para cima e tem um mínimo único.
Passo 5
Para uma quadrática
com
, a abscissa do vértice (onde ocorre o mínimo) é dada por
No nosso caso temos
e
. Calculamos:
Portanto o valor de
que minimiza
(e assim minimiza
sob a restrição) é
.
Passo 6
Encontramos
usando a restrição
:
Logo o ponto candidato é
.
Passo 7
Calculamos o valor mínimo substituindo
em
:
Fazendo as contas:
, então
; e
. Assim
Portanto o valor mínimo de
sob a restrição é
, atingido em
.
Passo 8
(Confirmação rápida por método alternativo) Se quisermos confirmar com multiplicadores de Lagrange, definimos
Resolvendo esse sistema obtemos
, o que confirma o resultado anterior. Como verificação numérica rápida,
, então
realmente fornece um valor menor.]
Resposta
Valor mínimo:
Atingido em:
Atingido em: