Considerando a>0, b>0 e r>0, calcule a curvatura das seguintes curvas:
alpha(t)=(a cos t, b sen t)

Passo 1

O enunciado dá a curva planar parametrizada por alpha(t)=(acos t,;bsin t) com a>0 e b>0, e pede a curvatura kappa(t). O conteúdo é cálculo diferencial de curvas planas e vamos usar a fórmula
kappa(t)=l|x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t)r|l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2,
onde alpha(t)=(x(t),y(t)).

Passo 2

Calcular as derivadas primeiras e segundas de x(t)=acos t e y(t)=bsin t.
x'(t)=-asin t, y'(t)=bcos t,
x''(t)=-acos t, y''(t)=-bsin t

Passo 3

Montar o numerador da fórmula da curvatura, isto é, o determinante
l|x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t)r| =l|(-asin t)(-bsin t)-(bcos t)(-acos t)r| =l|absin^2t+abcos^2tr| =ab

Passo 4

Calcular o denominador da fórmula, que é l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2.
x'(t)^2+y'(t)^2 =a^2sin^2t+b^2cos^2t,
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l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2 =l(a^2sin^2t+b^2cos^2tr)^3/2

Passo 5

Substituir numerador e denominador na fórmula de kappa(t):
kappa(t) =abl(a^2sin^2t+b^2cos^2tr)^3/2

Resposta

kappa(t)=abl(a^2sin^2t+b^2cos^2tr)^3/2

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