Sejam e funções de classe tais que para todo . Mostre que

Passo 1

O enunciado apresenta duas funções de classe C^1 no intervalo [a,b]:
- Uma vetorial f:[a,b]toR^n com derivada f'.
- Uma escalar phi:[a,b]toR com derivada phi'.
Além disso sabemos que
|f'(t)|<= phi'(t) para todo tin(a,b)
Queremos mostrar que o incremento de f em norma é controlado pelo incremento de phi:
|f(b)-f(a)|<= phi(b)-phi(a)
Para isso, usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e a desigualdade triangular para integrais de funções vetoriais.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para funções de classe C^1 temos
f(b)-f(a) =integrala^bf'(t),dt

Passo 3

Aplicando a desigualdade triangular para integrais de vetores (ou seja, a norma do integral é menor que o integral da norma), obtemos
l|integrala^bf'(t),dtr| <= integrala^b|f'(t)|,dt

Passo 4

Usando a hipótese |f'(t)|<= phi'(t) em cada ponto t, segue
integrala^b|f'(t)|,dt <= integrala^bphi'(t),dt

Passo 5

Por fim, aplicamos novamente o Teorema Fundamental do Cálculo agora a phi para avaliar a integral de phi':
integrala^bphi'(t),dt =phi(b)-phi(a)
Reunindo todas as desigualdades, fica
|f(b)-f(a)| =l|integrala^bf'(t),dtr| <= integrala^b|f'(t)|,dt <= integrala^bphi'(t),dt =phi(b)-phi(a)

Resposta

|f(b)-f(a)|<= phi(b)-phi(a).

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