Sejam
e
funções de classe
tais que
para todo
. Mostre que
Passo 1
O enunciado apresenta duas funções de classe
no intervalo
:
- Uma vetorial com derivada
.
- Uma escalar com derivada
.
Além disso sabemos que
- Uma vetorial
- Uma escalar
Além disso sabemos que
Queremos mostrar que o incremento de
em norma é controlado pelo incremento de
:
Para isso, usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e a desigualdade triangular para integrais de funções vetoriais.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para funções de classe
temos
Passo 3
Aplicando a desigualdade triangular para integrais de vetores (ou seja, a norma do integral é menor que o integral da norma), obtemos
Passo 4
Usando a hipótese
|f'(t)|<= phi'(t) em cada ponto
t , segue
Passo 5
Por fim, aplicamos novamente o Teorema Fundamental do Cálculo agora a
phi para avaliar a integral de
phi' :
Reunindo todas as desigualdades, fica