Sejam
uma função integrável tal que
para todo
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
f:[a,b]toR^n é integrável e satisfaz
|f(t)|<= M para todo
tin[a,b] , então
O conteúdo principal é o conceito de integral de função vetorial (via somas de Riemann) e a aplicação da desigualdade triangular para normas.
Passo 2
Como
f é integrável em
[a,b] , para qualquer partição
e pontos de amostragem
ti^*in[ti-1,ti] , a soma de Riemann vetorial
aproxima o valor da integral vetorial:
Passo 3
Aplicando a desigualdade triangular à soma vetorial, obtemos
Passo 4
Pela hipótese
|f(ti^*)|<= M para todo
i , então
Logo, para toda partição
P vale
Passo 5
Como as somas de Riemann
S(P) convergem para
integrala^b f(t),dt quando
|P|to0 , podemos passar ao limite na desigualdade anterior e obter: