Sejam uma função integrável tal que para todo . Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f:[a,b]toR^n é integrável e satisfaz |f(t)|<= M para todo tin[a,b], então
l|integrala^b f(t),dtr|<= M,(b-a)
O conteúdo principal é o conceito de integral de função vetorial (via somas de Riemann) e a aplicação da desigualdade triangular para normas.

Passo 2

Como f é integrável em [a,b], para qualquer partição
P: a=t0<t1<cdots<tN=b
e pontos de amostragem ti^*in[ti-1,ti], a soma de Riemann vetorial
S(P)=sumi=1^N f(ti^*),(ti-ti-1)
aproxima o valor da integral vetorial:
lim|P|to0S(P)=integrala^b f(t),dt

Passo 3

Aplicando a desigualdade triangular à soma vetorial, obtemos
l|S(P)r| =l|sumi=1^N f(ti^*),(ti-ti-1)r| <=sumi=1^Nl|f(ti^*)r|,(ti-ti-1)

Passo 4

Pela hipótese |f(ti^*)|<= M para todo i, então
sumi=1^Nl|f(ti^*)r|,(ti-ti-1) <=sumi=1^N M,(ti-ti-1) = M,(b-a)
Logo, para toda partição P vale
l|S(P)r|<= M,(b-a)

Passo 5

Como as somas de Riemann S(P) convergem para integrala^b f(t),dt quando |P|to0, podemos passar ao limite na desigualdade anterior e obter:
l|integrala^b f(t),dtr|<= M,(b-a)

Resposta

l|integrala^b f(t),dtr|<= M,(b-a)

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