Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando
.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função
não tem limite quando
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar diferentes caminhos que chegam à origem e ver se os limites são diferentes. Se encontrarmos caminhos que dão limites distintos, isso prova que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite de
quando
é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, onde
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Vamos escolher um terceiro caminho diferente, como
. Substituindo na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não é definido. Isso indica que o limite não existe ao longo desse caminho, ou seja, a função tende ao infinito.
Resposta
Como encontramos caminhos que dão resultados diferentes (0 em alguns caminhos e infinito em outro), podemos concluir que a função
não possui limite quando
.