Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando (x, y) -> (0, 0).
  • f(x, y) = (x - y) / raiz(x + y)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Para isso, vamos analisar diferentes caminhos que chegam à origem e ver se os limites são diferentes. Se encontrarmos caminhos que dão limites distintos, isso prova que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde . Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho , o limite de quando é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, onde . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 4

Vamos escolher um terceiro caminho diferente, como . Substituindo na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não é definido. Isso indica que o limite não existe ao longo desse caminho, ou seja, a função tende ao infinito.

Resposta

Como encontramos caminhos que dão resultados diferentes (0 em alguns caminhos e infinito em outro), podemos concluir que a função não possui limite quando .

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