Esboce a região delimitada pelas curvas e determine a área da região.
(a)
e
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o esboço da região delimitada pelas curvas
e
, e depois determinar a área dessa região. Aqui, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre áreas entre curvas e integração. Vamos precisar encontrar onde as curvas se encontram e, em seguida, calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de
:
Então, as curvas se cruzam nos pontos onde
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção em mãos, vamos identificar qual função está acima da outra no intervalo
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
é maior que
, sabemos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções que estão acima e abaixo:
Aqui,
e
,
, e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.