Esboce a região delimitada pelas curvas e determine a área da região.
(a) f(x) = x^2 + 2 e f(x) = 4 - x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o esboço da região delimitada pelas curvas e , e depois determinar a área dessa região. Aqui, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre áreas entre curvas e integração. Vamos precisar encontrar onde as curvas se encontram e, em seguida, calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de :
Então, as curvas se cruzam nos pontos onde e .

Passo 4

Com os pontos de interseção em mãos, vamos identificar qual função está acima da outra no intervalo . Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como é maior que , sabemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções que estão acima e abaixo:
Á
Aqui, e , , e .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Aplicando os limites de integração de a :
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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