Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do cone abaixo da esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está acima de um cone e abaixo de uma esfera. Para isso, vamos usar coordenadas polares (mais precisamente, coordenadas cilíndricas, que são uma extensão das polares para o 3D). Vamos precisar entender como transformar as equações dadas para essas coordenadas e montar um integrando para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações do cone e da esfera usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância radial é .
A equação do cone fica:
A equação da esfera fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. O sólido está acima do cone e abaixo da esfera, então varia de (do cone) até a esfera. Da equação da esfera, resolvemos para :
Então, vai de até .
Passo 4
Precisamos também definir os limites para . Para encontrar o valor máximo de , igualamos as duas equações de :
Elevando ao quadrado:
Somando dos dois lados:
Então, varia de 0 até .
Passo 5
O ângulo em coordenadas cilíndricas varia de 0 a , já que estamos considerando a rotação completa ao redor do eixo .
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos com relação a :
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar com relação a . Vamos separar a integral em duas partes:
Primeira parte:
Fazemos uma substituição , então , ou seja, . A integral fica: