Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está acima de um cone e abaixo de uma esfera. Para isso, vamos usar coordenadas polares (mais precisamente, coordenadas cilíndricas, que são uma extensão das polares para o 3D). Vamos precisar entender como transformar as equações dadas para essas coordenadas e montar um integrando para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações do cone e da esfera usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância radial é .
A equação do cone fica:
A equação da esfera fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. O sólido está acima do cone e abaixo da esfera, então varia de (do cone) até a esfera. Da equação da esfera, resolvemos para :
Então, vai de até .

Passo 4

Precisamos também definir os limites para . Para encontrar o valor máximo de , igualamos as duas equações de :
Elevando ao quadrado:
Somando dos dois lados:
Então, varia de 0 até .

Passo 5

O ângulo em coordenadas cilíndricas varia de 0 a , já que estamos considerando a rotação completa ao redor do eixo .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos com relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar com relação a . Vamos separar a integral em duas partes:
Primeira parte:
Fazemos uma substituição , então , ou seja, . A integral fica:
Avaliando entre 0 e :
Segunda parte:
Avaliando entre 0 e :

Passo 9

Substituindo as duas partes na integral original:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, integramos com relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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