Considere a função produção de Cobb-Douglas P(x, y)=1,01 x^alpha y^beta onde alpha, beta>0 e responda os itens abaixo:
(b) Mostre que x partial Ppartial x+y partial Ppartial y=(alpha+beta) P.

Passo 1

Vamos resolver o item (b) que pede para mostrar que . Estamos trabalhando com a função de produção de Cobb-Douglas, que é um conceito da teoria econômica utilizado para representar a relação entre os insumos (neste caso, e ) e a produção .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de P(x, y) = 1,01 , x^alpha y^beta em relação a partial Ppartial x = 1,01 , alpha , x^alpha - 1 y^beta e partial Ppartial y = 1,01 , beta , x^alpha y^beta - 1 . A função é:
Vamos derivar em relação a :
Da mesma forma, derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, multiplicamos cada derivada parcial pelo respectivo insumo:
x partial Ppartial x = x times 1,01 , alpha , x^alpha - 1 y^beta = 1,01 , alpha , x^alpha y^beta
y partial Ppartial y = y times 1,01 , beta , x^alpha y^beta - 1 = 1,01 , beta , x^alpha y^beta

Passo 4

Somando as duas expressões acima:
x partial Ppartial x + y partial Ppartial y = 1,01 , alpha , x^alpha y^beta + 1,01 , beta , x^alpha y^beta = 1,01 (alpha + beta) x^alpha y^beta

Passo 5

Observe que x partial Ppartial x + y partial Ppartial y = (alpha + beta) P . Portanto, podemos substituir na expressão acima:

Resposta

Mostramos que é verdadeiro para a função de produção de Cobb-Douglas dada.

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