Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto .
c)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função e precisamos encontrar suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Calculando cada termo:
Então:
Agora, para , derivamos em relação a , mantendo constante:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 3
Agora, vamos avaliar as derivadas parciais de primeira ordem no ponto .
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular:
Primeiro, derivamos em relação a e :
Para :
Para :
Agora, derivamos em relação a e :
Para :
Para :
Passo 5
Vamos agora avaliar essas derivadas de segunda ordem no ponto :
Para :
Para e :
Para :
Resposta
No ponto , as derivadas parciais de primeira ordem são: