Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
c) f(x, y) = 3x^2 - 3xy^3 + 2y + 2x + 6

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função e precisamos encontrar suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Calculando cada termo:
Então:
Agora, para , derivamos em relação a , mantendo constante:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 3

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais de primeira ordem no ponto .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular:
Primeiro, derivamos em relação a e :
Para :
Para :
Agora, derivamos em relação a e :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos agora avaliar essas derivadas de segunda ordem no ponto :
Para :
Para e :
Para :

Resposta

No ponto , as derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:

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