Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
Verifique se existe fluxo do campo
através das superfícies plana superior e inferior do cilindro.
Verifique se existe fluxo do campo
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre uma superfície cilíndrica definida por
, com
e
. A gente precisa verificar se existe fluxo do campo vetorial
através das superfícies planas superior e inferior desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
, e
é um elemento de área dessa superfície. O ponto entre
e
significa que estamos calculando o produto escalar entre eles.
Passo 3
Vamos começar pela superfície inferior do cilindro, que está no plano
. O vetor normal a essa superfície aponta para baixo, ou seja,
, onde
é o vetor unitário na direção
. Então, o fluxo através da superfície inferior é:
Passo 4
Agora, a superfície superior do cilindro está no plano
. O vetor normal aqui aponta para cima, então
. O fluxo através da superfície superior fica:
Passo 5
Para calcular esses fluxos, precisaríamos conhecer o campo
. Mas como não temos essa informação específica, vamos pensar no que precisa acontecer para que esses fluxos sejam nulos.
Se o campo
não tem componente na direção
, ou seja, se
, então o produto escalar
será zero tanto para a superfície superior quanto para a inferior. Isso porque:
Se
, então
.
Passo 6
Portanto, se o campo vetorial
não possui componente na direção
, o fluxo através das superfícies superior e inferior será zero. Em outras palavras, não haverá fluxo passando por essas superfícies.
Resposta
Não existe fluxo do campo
através das superfícies plana superior e inferior do cilindro.