Considerando que, caso exista, f^prime(a)=lim De<a x 0 f(a+De<a x)-f(a)De<a x, calcule:
f^prime(3), se f(x)=raiz[3]x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=raiz[3]x em x=3 usando a definição
f'(a)=limDe<a xto0f(a+De<a x)-f(a)De<a x
Vamos usar a técnica de racionalização de diferença de cubos para simplificar o limite.

Passo 2

Escrevemos diretamente a definição em x=3:
f'(3)=limDe<a xto0raiz[3]3+De<a x-raiz[3]3De<a x

Passo 3

Definimos
A=raiz[3]3+De<a x, B=raiz[3]3
Então A^3-B^3=(3+De<a x)-3=De<a x e, usando
A^3-B^3=(A-B),(A^2+AB+B^2),
temos
A-B=De<a xA^2+AB+B^2

Passo 4

Substituindo no limite:
f'(3) =limDe<a xto0A-BDe<a x =limDe<a xto0De<a xDe<a x,(A^2+AB+B^2) =limDe<a xto01A^2+AB+B^2

Passo 5

Quando De<a xto0, Ato B=raiz[3]3. O denominador tende a
B^2+AB+B^2=3B^2=3l(raiz[3]3r)^2=3cdot3^2/3=3^5/3
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f'(3)=13^5/3

Resposta

f'(3)=13^5/3

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