Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada. Encontre pelo menos uma solução explícita y= phi(x) em cada caso. Use um programa de criação de gráficos para obter os gráficos das soluções explícitas. Encontre o intervalo de definição I de cada solução phi.
2 x y d x+(x^2-y) d y=0 ; -2 x^2 y+y^2=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2x,y,dx + (x^2 - y),dy = 0
e afirma que a curva
-2x^2y + y^2 = 1
é solução implícita. Vamos verificar isso e então resolver para y=phi(x) de forma explícita. Para isso precisaremos usar o teste de exata (ou encontrar uma função de potencial) e em seguida resolver a equação implícita como uma quadrática em y.

Passo 2

Defina a função de potencial
F(x,y) = y^2 - 2x^2y
Então
partial Fpartial x = -4xy, partial Fpartial y = 2y - 2x^2
Compare com a equação diferencial dada. Ela pode ser escrita como
2x,y,dx + (x^2 - y),dy = 0 ;Long<=ftrightarrow; 4x,y,dx + 2(x^2 - y),dy = 0 ;Long<=ftrightarrow; -4x,y,dx + 2(y - x^2),dy = 0,
que é exatamente
partial Fpartial x,dx + partial Fpartial y,dy = dF = 0
Logo F(x,y)=C é família de soluções, e para C=1 temos
y^2 - 2x^2y = 1,
conforme afirmado.

Passo 3

Resolvendo a equação implícita como quadrática em y,
y^2 - 2x^2y - 1 = 0,
usamos a fórmula de Bhaskara:
y = 2x^2 pm raiz(2x^2)^2 +42 = x^2 pm raizx^4 +1
Portanto existem duas soluções explícitas:
phi1(x) = x^2 + raizx^4 +1, phi2(x) = x^2 - raizx^4 +1

Passo 4

Para ambas as funções o discriminante dentro da raiz, x^4+1, é sempre positivo para todo xinR. Assim phi1 e phi2 estão definidas em todo R. Em termos de intervalo de definição,
I1 = I2 = (-infty,infty)

Resposta

phi1(x)=x^2+raizx^4+1, phi2(x)=x^2-raizx^4+1, I1=I2=R.

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