Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada. Encontre pelo menos uma solução explícita
em cada caso. Use um programa de criação de gráficos para obter os gráficos das soluções explícitas. Encontre o intervalo de definição
de cada solução
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e afirma que a curva
é solução implícita. Vamos verificar isso e então resolver para
de forma explícita. Para isso precisaremos usar o teste de exata (ou encontrar uma função de potencial) e em seguida resolver a equação implícita como uma quadrática em
.
Passo 2
Defina a função de potencial
Então
Compare com a equação diferencial dada. Ela pode ser escrita como
que é exatamente
Logo
é família de soluções, e para
temos
conforme afirmado.
Passo 3
Resolvendo a equação implícita como quadrática em
,
usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto existem duas soluções explícitas:
Passo 4
Para ambas as funções o discriminante dentro da raiz,
, é sempre positivo para todo
. Assim
e
estão definidas em todo
. Em termos de intervalo de definição,