Considerando que, caso exista, f^prime(a)=lim De<a x 0 f(a+De<a x)-f(a)De<a x, calcule:
f^prime(1), se f(x)=lx^2+1, se x<1 1+2 x, se x >= 1$

Passo 1

O enunciado pede a derivada em
Para que é necessário que ela seja contínua em e que as derivadas laterais (os limites do quociente incremental pela direita e pela esquerda) coincidam.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1. Temos
f(1^-)=limxto1^-(x^2+1)=1^2+1=2,
enquanto
f(1)=1+2cdot1=3
Como f(1^-)=2neq3=f(1), a função não é contínua em x=1.

Passo 3

Mesmo não sendo contínua, podemos calcular a derivada pela direita para ver o contraste:
limDe<a xto0^+f(1+De<a x)-f(1)De<a x =limDe<a xto0^+l(1+2(1+De<a x)r)-3De<a x =limDe<a xto0^+3+2De<a x-3De<a x =limDe<a xto0^+2 =2

Passo 4

Pela esquerda, usando f(x)=x^2+1 para x<1,
f(1+De<a x)-f(1)De<a x =l((1+De<a x)^2+1r)-3De<a x =-1+2De<a x+De<a x^2De<a x =-1De<a x+2+De<a x
Quando De<a xto0^-, o termo -1/De<a x não tem limite finito, logo a derivada lateral pela esquerda não existe.

Passo 5

Como a função não é contínua em x=1 (passo 2) e a derivada lateral esquerda não existe (passo 4), concluímos que f não é derivável em x=1.

Resposta

A derivada f'(1) não existe.

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