integral(1-4 t^2)^3 / 2 d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral (1 - 4t^2)^3/2,dt
O conteúdo principal aqui é reduzir essa integral a uma forma padrão integral(1 - x^2)^3/2dx e depois usar uma fórmula de redução para potências de (1 - x^2).

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2t, dx = 2,dt ;Longrightarrow; dt = dx2,
e observamos que 1 - 4t^2 = 1 - x^2. Assim
integral (1 - 4t^2)^3/2,dt = integral (1 - x^2)^3/2,dx2 = 12 integral (1 - x^2)^3/2,dx

Passo 3

Usamos a fórmula de redução
integral (1 - x^2)^ndx = x(1 - x^2)^n2n + 1 + 2n2n + 1integral (1 - x^2)^n-1dx
Para n=tfrac32 vem
integral (1 - x^2)^3/2dx = x(1 - x^2)^3/24 + 34integral (1 - x^2)^1/2dx
E sabemos que
integral (1 - x^2)^1/2dx = xraiz1 - x^22 + 12arcsin(x)
Substituindo e coletando termos dá
integral (1 - x^2)^3/2dx = x(5 - 2x^2)raiz1 - x^28 + 38arcsin(x) + C

Passo 4

Retornando à variável t e lembrando do fator tfrac12, temos
integral (1 - 4t^2)^3/2dt = 12l[ x(5 - 2x^2)raiz1 - x^28 + 38arcsin(x) r] + C
Como x=2t, x^2=4t^2 e raiz1 - x^2=raiz1 - 4t^2, resulta
integral (1 - 4t^2)^3/2dt = t(5 - 8t^2)raiz1 - 4t^28 + 316arcsin(2t) + C

Resposta

boxed integral (1 - 4t^2)^3/2,dt = t(5 - 8t^2)raiz1 - 4t^28 + 316,arcsinl(2tr) + C

Exercícios relacionados