Problema 4.31. Determine as tabelas da adição e da multiplicação para m=6 e para m=7. Que diferenças você nota entre os dois casos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa as tabelas de adição e multiplicação nos anéis Z/6Z e Z/7Z. O conteúdo principal é aritmética modular, mais especificamente a operação de somar e multiplicar “restos” modulo m. Vamos usar a definição
a+m b equiv a+b pmod m, acdotm b equiv acdot b pmod m
para preencher as tabelas.

Passo 2

A tabela de adição em Z/6Z=0,1,2,3,4,5 é
c|cccccc +6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4

Passo 3

A tabela de multiplicação em Z/6Z é
c|cccccc cdot6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & 3 4 & 0 & 4 & 2 & 0 & 4 & 2 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1

Passo 4

A tabela de adição em Z/7Z=0,1,2,3,4,5,6 é
c|ccccccc +7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5

Passo 5

A tabela de multiplicação em Z/7Z é
c|ccccccc cdot7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1

Passo 6

Comparemos as duas estruturas:
  • Em Z/6Z há zero divisores: por exemplo 2cdot6 3 = 0. Nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (2, 3 e 4 não são invertíveis).
  • Em Z/7Z não há zero divisores: toda linha/coluna de cdot7 (exceto a de 0) é uma permutação de 1,dots,6. Consequentemente, cada aneq0 tem inverso em módulo 7, fazendo de Z/7Z um corpo (field).

Resposta

As tabelas mostram que Z/6Z é apenas um anel com zero divisores e elementos não invertíveis, enquanto Z/7Z é um corpo: não há zero divisores e todos os elementos não nulos são invertíveis.

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