Problema 4.31. Determine as tabelas da adição e da multiplicação para
e para
. Que diferenças você nota entre os dois casos?
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa as tabelas de adição e multiplicação nos anéis
e
. O conteúdo principal é aritmética modular, mais especificamente a operação de somar e multiplicar “restos” modulo
. Vamos usar a definição
para preencher as tabelas.
Passo 2
A tabela de adição em
é
Passo 3
A tabela de multiplicação em
é
Passo 4
A tabela de adição em
é
Passo 5
A tabela de multiplicação em
é
Passo 6
Comparemos as duas estruturas:
- Em
há zero divisores: por exemplo . Nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (2, 3 e 4 não são invertíveis). - Em
não há zero divisores: toda linha/coluna de (exceto a de ) é uma permutação de . Consequentemente, cada tem inverso em módulo 7, fazendo de um corpo (field).
Resposta
As tabelas mostram que
é apenas um anel com zero divisores e elementos não invertíveis, enquanto
é um corpo: não há zero divisores e todos os elementos não nulos são invertíveis.