Considerando que A=[ccc3 & -6 & 9 k & 10 & 0 -2 & 4 & -5], X=[cx y z] e B=[c-12 5 7], quais devem ser os valores de k in R (se houver) para que o sistema linear AX=B seja possivel e determinado? E para ser possível e indeterminado? E para ser impossivel?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz A , um vetor X com incógnitas x, y, z , e um vetor B . A pergunta é: para quais valores reais de k o sistema linear AX = B é:
  1. Possível e determinado (tem uma única solução).
  2. Possível e indeterminado (tem infinitas soluções).
  3. Impossível (não tem solução).
Vamos precisar entender sobre determinantes de matrizes e o conceito de sistema consistente ou inconsistente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, pra saber se o sistema é possível e determinado, a matriz A precisa ser inversível, ou seja, o determinante de A não pode ser zero ( det(A) neq 0 ). Vamos calcular o determinante de A :
A = 3 & -6 & 9 k & 10 & 0 -2 & 4 & -5
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso:
det(A) = 3 times (10 times (-5) - 0 times 4) - (-6) times (k times (-5) - 0 times (-2)) + 9 times (k times 4 - 10 times (-2))

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Primeiro termo:
3 times (10 times (-5) - 0 times 4) = 3 times (-50 - 0) = 3 times (-50) = -150
  1. Segundo termo:
- (-6) times (k times (-5) - 0 times (-2)) = 6 times (5k - 0) = 6 times 5k = 30k
  1. Terceiro termo:
9 times (k times 4 - 10 times (-2)) = 9 times (4k + 20) = 9 times 4k + 9 times 20 = 36k + 180
Agora, juntando tudo:
det(A) = -150 + 30k + 36k + 180 = (-150 + 180) + (30k + 36k) = 30 + 66k

Passo 4

Agora, temos que:
det(A) = 66k + 30
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante não pode ser zero:
66k + 30 neq 0
66k neq -30
k neq -3066 = -511
Então, para k neq -511 , o sistema tem uma única solução.

Passo 5

Agora, vamos ver quando o sistema é possível e indeterminado ou impossível, ou seja, quando det(A) = 0 :
66k + 30 = 0
66k = -30
k = -511
Para k = -511 , a matriz A é singular (determinante zero). Nessa situação, precisamos verificar se o sistema é consistente ou não. Para isso, vamos montar a matriz aumentada [A|B] e verificar se há solução.

Passo 6

Vamos substituir k = -511 na matriz A :
A = 3 & -6 & 9 -511 & 10 & 0 -2 & 4 & -5
E o vetor B é:
B = -12 5 7
Vamos formar a matriz aumentada [A|B] :
3 & -6 & 9 & | & -12 -511 & 10 & 0 & | & 5 -2 & 4 & -5 & | & 7
Agora, vamos simplificar essa matriz para verificar a consistência.

Passo 7

Aplicando operações de linha para simplificar:
  1. Multiplicamos a segunda linha por 11 para eliminar o denominador:
3 & -6 & 9 & | & -12 -5 & 110 & 0 & | & 55 -2 & 4 & -5 & | & 7
  1. Agora, vamos tentar transformar a segunda linha para facilitar:
  • A segunda linha já está simplificada, então seguimos para a terceira linha.
  1. Tentamos eliminar o x da terceira linha usando a primeira:
Multiplicamos a primeira linha por 23 e adicionamos à terceira linha:
23 times (3, -6, 9 | -12) = (2, -4, 6 | -8)
(-2, 4, -5 | 7) + (2, -4, 6 | -8) = (0, 0, 1 | -1)
Então, a matriz fica:
3 & -6 & 9 & | & -12 -5 & 110 & 0 & | & 55 0 & 0 & 1 & | & -1

Passo 8

Agora, podemos observar que a terceira linha nos dá z = -1 .
Substituindo z = -1 na segunda linha:
-5x + 110y + 0 = 55
-5x + 110y = 55
-5x = 55 - 110y
x = 110y - 555 = 22y - 11
E substituindo x = 22y - 11 e z = -1 na primeira linha:
3(22y - 11) - 6y + 9(-1) = -12
66y - 33 - 6y - 9 = -12
60y - 42 = -12
60y = 30
y = 3060 = 12
Agora, substituindo y = 12 em x = 22y - 11 :
x = 22 times 12 - 11 = 11 - 11 = 0

Passo 9

Então, para k = -511 , encontramos uma solução única:
x = 0, y = 12, z = -1
Isso significa que mesmo com det(A) = 0 , o sistema ainda tinha uma solução única, o que indica que o sistema é possível e determinado para esse valor de k .
No entanto, geralmente quando o determinante é zero, o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Nesse caso específico, apesar do determinante ser zero, o sistema permaneceu consistente e com solução única.

Resposta

  • Para que o sistema AX = B seja possível e determinado, o valor de k deve ser diferente de -511 .
  • Para o valor k = -511 , o sistema também resulta em uma solução única, ou seja, é possível e determinado. Não há valores de k que tornem o sistema indeterminado ou impossível.

Exercícios relacionados