Considerando que e B=[c-12 5 7], quais devem ser os valores de k in R (se houver) para que o sistema linear AX=B seja possivel e determinado? E para ser possível e indeterminado? E para ser impossivel?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz A , um vetor X com incógnitas x, y, z , e um vetor B . A pergunta é: para quais valores reais de k o sistema linear AX = B é:
Possível e determinado (tem uma única solução).
Possível e indeterminado (tem infinitas soluções).
Impossível (não tem solução).
Vamos precisar entender sobre determinantes de matrizes e o conceito de sistema consistente ou inconsistente. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, pra saber se o sistema é possível e determinado, a matriz A precisa ser inversível, ou seja, o determinante de A não pode ser zero ( det(A) neq 0 ). Vamos calcular o determinante de A :
A = 3 & -6 & 9 k & 10 & 0 -2 & 4 & -5
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso:
det(A) = 3 times (10 times (-5) - 0 times 4) - (-6) times (k times (-5) - 0 times (-2)) + 9 times (k times 4 - 10 times (-2))
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro termo:
3 times (10 times (-5) - 0 times 4) = 3 times (-50 - 0) = 3 times (-50) = -150
Segundo termo:
- (-6) times (k times (-5) - 0 times (-2)) = 6 times (5k - 0) = 6 times 5k = 30k
Terceiro termo:
9 times (k times 4 - 10 times (-2)) = 9 times (4k + 20) = 9 times 4k + 9 times 20 = 36k + 180
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante não pode ser zero:
66k + 30 neq 0
66k neq -30
k neq -3066 = -511
Então, para k neq -511 , o sistema tem uma única solução.
Passo 5
Agora, vamos ver quando o sistema é possível e indeterminado ou impossível, ou seja, quando det(A) = 0 :
66k + 30 = 0
66k = -30
k = -511
Para k = -511 , a matriz A é singular (determinante zero). Nessa situação, precisamos verificar se o sistema é consistente ou não. Para isso, vamos montar a matriz aumentada [A|B] e verificar se há solução.
Agora, podemos observar que a terceira linha nos dá z = -1 .
Substituindo z = -1 na segunda linha:
-5x + 110y + 0 = 55
-5x + 110y = 55
-5x = 55 - 110y
x = 110y - 555 = 22y - 11
E substituindo x = 22y - 11 e z = -1 na primeira linha:
3(22y - 11) - 6y + 9(-1) = -12
66y - 33 - 6y - 9 = -12
60y - 42 = -12
60y = 30
y = 3060 = 12
Agora, substituindo y = 12 em x = 22y - 11 :
x = 22 times 12 - 11 = 11 - 11 = 0
Passo 9
Então, para k = -511 , encontramos uma solução única:
x = 0, y = 12, z = -1
Isso significa que mesmo com det(A) = 0 , o sistema ainda tinha uma solução única, o que indica que o sistema é possível e determinado para esse valor de k .
No entanto, geralmente quando o determinante é zero, o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Nesse caso específico, apesar do determinante ser zero, o sistema permaneceu consistente e com solução única.
Resposta
Para que o sistema AX = B seja possível e determinado, o valor de k deve ser diferente de -511 .
Para o valor k = -511 , o sistema também resulta em uma solução única, ou seja, é possível e determinado. Não há valores de k que tornem o sistema indeterminado ou impossível.