Sejam A e B matrizes n times n. Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
Se A^3=0 então A=0.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada A de ordem n, se
A^3=0
então A=0. Esse é um problema sobre matrizes nilpotentes: uma matriz A é nilpotente se existe k>=1 tal que A^k=0. Para concluir que nilpotência em grau 3 implica matriz nula, seria preciso que não existissem matrizes não nulas com A^3=0. Vamos buscar um contraexemplo.

Passo 2

Considere a matriz de ordem 2
A = 0 & 1 0 & 0
Calculamos
A^2 = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 ,
logo A^2=0 e, em particular, A^3 = A^2cdot A = 0. No entanto, Aneq0 pois seu único elemento não nulo é o entry (1,2)=1. Isso mostra que existe matriz não nula com A^3=0, refutando a afirmação.

Resposta

FALSO

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