Sejam e matrizes . Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
Se então .
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada de ordem , se
então . Esse é um problema sobre matrizes nilpotentes: uma matriz é nilpotente se existe tal que . Para concluir que nilpotência em grau 3 implica matriz nula, seria preciso que não existissem matrizes não nulas com . Vamos buscar um contraexemplo.
Passo 2
Considere a matriz de ordem
Calculamos
A^2 = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 ,
logo A^2=0 e, em particular, A^3 = A^2cdot A = 0. No entanto, Aneq0 pois seu único elemento não nulo é o entry (1,2)=1. Isso mostra que existe matriz não nula com A^3=0, refutando a afirmação.