Suponha que uma transformação linear T: R^3 M2 times 2 satisfaz
T(3,2,-1)=[ll 7 & 0 0 & 0 ], T(1,1,0)=[ll 0 & 0 0 & 0 ] e T(-1,0,0)=[ll 0 & 3 3 & 0 ]
  • Obtenha a fórmula para T(a, b, c).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear T que pega vetores do espaço tridimensional R^3 e transforma em matrizes 2 times 2 . A questão nos dá imagens de três vetores específicos e pede para encontrar uma fórmula que diga como T age em qualquer vetor (a, b, c) .
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de transformação linear e combinar as informações dadas para descobrir como T funciona de forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T: R^3 M2 times 2 pode ser expressa como uma combinação linear das imagens das bases canônicas de R^3 . Ou seja:
T(a, b, c) = a cdot T(1, 0, 0) + b cdot T(0, 1, 0) + c cdot T(0, 0, 1)
Nosso objetivo é encontrar as matrizes T(1, 0, 0) , T(0, 1, 0) e T(0, 0, 1) .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
T(3, 2, -1) = 3 cdot T(1, 0, 0) + 2 cdot T(0, 1, 0) - 1 cdot T(0, 0, 1) = 7 & 0 0 & 0
T(1, 1, 0) = 1 cdot T(1, 0, 0) + 1 cdot T(0, 1, 0) + 0 cdot T(0, 0, 1) = 0 & 0 0 & 0
T(-1, 0, 0) = -1 cdot T(1, 0, 0) + 0 cdot T(0, 1, 0) + 0 cdot T(0, 0, 1) = 0 & 3 3 & 0

Passo 4

Vamos chamar as matrizes básicas de:
T(1, 0, 0) = a & b c & d , T(0, 1, 0) = e & f g & h , T(0, 0, 1) = i & j k & l
Agora, substituímos essas nas equações que temos.

Passo 5

Primeira equação:
3 a & b c & d + 2 e & f g & h - i & j k & l = 7 & 0 0 & 0
Segunda equação:
a & b c & d + e & f g & h = 0 & 0 0 & 0
Terceira equação:
- a & b c & d = 0 & 3 3 & 0

Passo 6

Vamos resolver a terceira equação primeiro para encontrar T(1, 0, 0) :
- a & b c & d = 0 & 3 3 & 0 implies a & b c & d = 0 & -3 -3 & 0
Então, temos:
T(1, 0, 0) = 0 & -3 -3 & 0

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar T(0, 1, 0) :
0 & -3 -3 & 0 + e & f g & h = 0 & 0 0 & 0
Subtraindo T(1, 0, 0) :
e & f g & h = 0 & 3 3 & 0
Então,
T(0, 1, 0) = 0 & 3 3 & 0

Passo 8

Agora, vamos usar a primeira equação para encontrar T(0, 0, 1) :
3 0 & -3 -3 & 0 + 2 0 & 3 3 & 0 - i & j k & l = 7 & 0 0 & 0
Calculando as multiplicações:
0 & -9 -9 & 0 + 0 & 6 6 & 0 = 0 & -3 -3 & 0
Então:
0 & -3 -3 & 0 - i & j k & l = 7 & 0 0 & 0
Rearranjando:
- i & j k & l = 7 & 0 0 & 0 - 0 & -3 -3 & 0 = 7 & 3 3 & 0
Multiplicando por -1:
i & j k & l = -7 & -3 -3 & 0
Então,
T(0, 0, 1) = -7 & -3 -3 & 0

Passo 9

Agora que temos todas as matrizes básicas, podemos escrever a fórmula geral para T(a, b, c) :
T(a, b, c) = a cdot 0 & -3 -3 & 0 + b cdot 0 & 3 3 & 0 + c cdot -7 & -3 -3 & 0

Resposta

A fórmula para T(a, b, c) é:
T(a, b, c) = -7c & -3a + 3b -3c -3a + 3b -3c & 0

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